2024_2025新教材高中数学第二章圆与方程1第一课时圆的标准方程学案苏教版选择性必修第一册.doc

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圆的方程

新课程标准解读

核心素养

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探究并驾驭圆的标准方程与一般方程

直观想象、数学运算

第一课时圆的标准方程

月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”

[问题]假如把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？

学问点圆的标准方程

1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

2．圆的要素：圆心和半径，如图所示．

3．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2肯定表示圆．()

(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径肯定是a.()

答案：(1)×(2)×

2．给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为()

A．4x－y＝0 B．4x＋y＝0

C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0

解析：选B由圆的标准方程，知圆心为(2，－8)，则过坐标原点和圆心的直线方程为y＝－4x，即4x＋y＝0.

3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．

解析：圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.

答案：(x＋2)2＋y2＝4

圆的标准方程的定义

[例1]写出圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并推断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？

[解]圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.

把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满意圆的方程，所以点M1在这个圆上．

把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满意圆的方程，所以点M2不在这个圆上．

又因为点M2到圆心A的距离d＝|M2A|＝eq\r(（－2－2）2＋（－1＋3）2)＝2eq\r(5)5.

故点M2在圆内．

eq\a\vs4\al()

推断点P与圆C位置关系的方法

方法一：利用点P到圆心C的距离d与半径r大小关系来推断：

若dr则点P在圆外；

若d＝r则点P在圆上；

若dr则点P在圆内．

方法二：依据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系推断：

(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?点在圆外；

(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点在圆上；

(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?点在圆内．

[跟踪训练]

已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段P1P2为直径的圆的标准方程，并推断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在圆上、圆内、还是圆外．

解：设圆心为C(a，b)，半径为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝eq\f(3＋5,2)＝4，b＝eq\f(8＋4,2)＝6，即圆心为C(4，6)，

由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝eq\r(（4－3）2＋（6－8）2)＝eq\r(5)，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.

法一：分别计算点M，N，P到圆心C的距离：

|CM|＝eq\r(（4－5）2＋（6－3）2)＝eq\r(10)eq\r(5)，

|CN|＝eq\r(（4－3）2＋（6－4）2)＝eq\r(5)，

|CP|＝eq\r(（4－3）2＋（6－5）2)＝eq\r(2)eq\r(5)，

所以点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．

法二：由于(5－4)2＋(3－6)2＝105，故点M在圆外；

由于(3－4)2＋(4－6)2＝5，故点N在圆上；

由于(3－4)2＋(5－6)2＝25，故点P在圆内．

求圆的标准方程

[例2](链接教科书第52页例1)求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋