2024_2025新教材高中数学第三章圆锥曲线与方程2.1第一课时双曲线的定义与标准方程学案苏教版选择性必修第一册.doc

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第一课时双曲线的定义与标准方程

新课程标准解读

核心素养

1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用

数学抽象

2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程

直观想象

如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链渐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．

[问题]类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满意怎样的几何条件？

学问点一双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离之差的肯定值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．

定义中“小于F1F2的正数”这一条件去掉，动点的轨迹还是双曲线吗？

提示：不肯定是．

学问点二双曲线的标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)

eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)

图形

焦点坐标

F1(－c，0)，F2(c，0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

a，b，c的关系

b2＝c2－a2

eq\a\vs4\al()

双曲线焦点位置与方程的关系

焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)方程eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1表示双曲线．()

(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．()

(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，则a2＞b2.()

(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的肯定值为定值．()

答案：(1)×(2)√(3)×(4)√

2．已知双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，则双曲线的焦点坐标为()

A．(－eq\r(7)，0)，(eq\r(7)，0) B．(－5，0)，(5，0)

C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－eq\r(7))，(0，eq\r(7))

答案：B

3．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．

答案：eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1

双曲线定义的应用

[例1]如图，若F1，F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点．

(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；

(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

[解]双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，

故a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.

(1)由双曲线的定义得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|))＝2a＝6，

又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，

假设点P到另一个焦点的距离等于x，

则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.

故点P到另一个焦点的距离为10或22.

(2)将eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|PF2|－|PF1|))＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理得

cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)

＝eq\f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0，

∴∠F1PF2＝90°，

∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×32＝16.

[母题探究]

1．(变条件，变设问)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．

解：由双曲线的标准方程eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，

得a＝3，b＝4，c＝5.

由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6