2025版新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程1.2椭圆的简单几何性质学案新人教A版选择性必修第一册.docx
PAGE
PAGE9
椭圆的简洁几何性质
课标解读
课标要求
素养要求
1.驾驭椭圆的简洁几何性质，驾驭a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的关系.
2.利用椭圆的方程探讨椭圆的简洁几何性质.
3.利用椭圆的学问解决简洁的实际问题.
1.数学抽象——能抽象出椭圆的简洁几何性质.
2.数学建模——会利用椭圆的学问解决应用问题.
自主学习·必备学问
教材研习
教材原句
1.椭圆的简洁几何性质：
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x
y
范围
①-a≤x≤a且-b≤y≤b
②-b≤x≤b且-a≤y≤a
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心（中心）为原点
顶点
③A
④A
B
B
轴长
短轴长|B1B2|=⑤
焦点
F
F
焦距
|F1
2.离心率
（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率，用e表示，即e
（2）性质：离心率e的范围是⑧(0,1).当e越接近于1时，椭圆越扁平；当e越接近于0时，椭圆就越接近于⑨圆.
自主思索
1.视察下图中的椭圆x2
提示有，交点分别为A1(-2,0)，A2(2,0)，
2.除了e=ca
提示有，e2=c2a2=
名师点睛
1.通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长，其长度为2b
2.椭圆x2a2
3.与椭圆x2a2
4.椭圆x2a2+y
（1）|PF
（2）|A1F1|=|
互动探究·关键实力
探究点一椭圆的简洁几何性质
精讲精练
类型1求椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标
例1已知椭圆方程为mx2+4
答案：椭圆方程可化为x2
当0＜m＜4，即焦点在x轴上时，a=2，b=m，c=4-m，
∴m=3，∴b=3，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为4，23，顶点坐标为(-2,0)，(2,0)，(0,-3)
当m＞4，即焦点在y轴上时，a=m，b=2，∴c=m-4，∴e
∴a=433
∴椭圆的长轴长和短轴长分别为833，4，顶点坐标为(0,-4
解题感悟
用椭圆的标准方程探讨几何性质的步骤：（1）将椭圆方程化为标准形式;（2）确定焦点位置（焦点位置不确定的要分类探讨）;（3）求出a，b，c;（4）写出椭圆的几何性质.
类型2求椭圆的离心率
例2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点
A.75B.57C.7
答案：A
解析：由椭圆的对称性可知，四边形MF1NF2
因为2|MF1|=3|NF1
设|MF1|=3?m，
由余弦定理得|F
即|F1F
由椭圆的定义得2a=|MF1|+|M
解题感悟
求椭圆离心率的两种方法：（1）干脆法：若a，c的值可求，则干脆利用e=ca求解;（2）方程法：若a，c的值不行求，则先依据条件建立关于a，b，c的关系式，再将方程或不等式两边同时除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e
迁移应用
1.（2024湖南岳阳平江一中高二段考）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点为
A.22B.3-12C.
答案：C
解析：如图所示，易知∠AFB、∠ABF均为锐角，所以△FAB是以∠FAB为直角的直角三角形，
由题意可知，F(-c,0)、A(0,b)、B(a,0)，则AF=(-c,-b)，AB
所以AF?AB=-ac+b2=0，且
两边同时除以a2可得e2+e-1=0
2.试写出椭圆m2
答案：椭圆方程m2x2
因为m24?m
所以椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a=1m，短半轴长b=1
所以椭圆的长轴长为2a=2m，短轴长为2b=1m，焦点坐标为
顶点坐标为(1m,0)，(-1m
探究点二利用几何性质求椭圆的标准方程
精讲精练
例求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）短轴长为25，离心率e
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线相互垂直，且焦距为6.
答案：（1）由2b=25，e=ca=23
当焦点在x轴上时，
所求椭圆的标准方程为x2
当焦点在y轴上时，
所求椭圆的标准方程为y2
综上，所求椭圆的标准方程为x29+
（2）依题意可设椭圆方程为x2
△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A
所以c=b=3，所以a2
故所求椭圆的标准方程为x2
解题感悟
依据椭圆的几何性质求标准方程：此类问题通常采纳待定系数法，其步骤仍旧是“先定型，后计算”，即首先确定焦点的位置，其次依据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求得参数，进而可得椭圆的标准方程.
迁移应用
（2024云南永富云天化中学高二期中）求下列椭圆的标准方程.
（1）焦点在x