2025版新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2抛物线的简单几何性质提升训练含解析新人教A版选择性必修第一册.docx

PAGE

PAGE11

抛物线的简洁几何性质

基础过关练

题组一抛物线的几何性质

1.已知抛物线x2=2py(p0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为()

A.(-1,0) B.(0,-1)C.(1,0) D.(0,1)

2.已知点A是抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是 ()

A.x=-1 B.y=-1C.x=-2 D.y=-2

3.一条光线从抛物线y2=2px(p0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.?

题组二直线与抛物线的位置关系

4.(2024山东济宁高二上期末)若斜率为1的直线l经过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与抛物线C相交于点A,B,则|AB|= ()

A.4 B.8 C.12 D.16

5.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则 ()

A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点

6.(2024山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为 ()

A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0C.x-2y=0 D.x-y-1=0

(2024天津耀华中学高二上期末)若直线y=kx+1与抛物线y2=4x有且只有一个公共点,则k的值是.

8.(2024湖南永州第一中学高二上第一次月考)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点.

(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|;

(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.

9.(2024海南中学高二上期中)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O是坐标原点.

(1)求证:OA⊥OB;

(2)当△OAB的面积等于10时,求k的值.

题组三抛物线的综合问题

10.(2024山东淄博高二上期末)方程mx2+ny=0和mx2+ny2=1(mn≠0)表示的两条曲线在同一坐标系中可以是()

11.(2024天津一中高二上期末)双曲线C1:x24-y2b2=1(b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)相交于O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点F

A.2 B.3 C.5

12.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1,两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30m,如图2,则此抛物线顶端O到连桥AB的距离为 ()

A.180m B.200m C.220m D.240m

实力提升练

题组一抛物线的几何性质

1.(2024湖南张家界高二上期末,)已知抛物线C:y2=8px(p0)的焦点为F,C与抛物线x2=py在第一象限的交点为M,且|MF|=4,则p= ()

A.6 B.4 C.2 D.1

2.（多选）(2024山东临沂高二上学分认定考试,)已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是()

A.1|AF|+1|BF|=1 B.|AF|=6

3.(2024北京通州高二上期末,)已知双曲线x2-y23=1,抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线的一个焦点相同,点P(x0,y0)为抛物线上一点

(1)求双曲线的焦点坐标;

(2)若点P到抛物线的焦点的距离是5,求x0的值.

题组二直线与抛物线的位置关系

4.(多选)(2024山东烟台高二上期末,)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的投影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是 (深度解析)

A.∠CFD=90°

B.△CMD为等腰直角三角形

C.直线AB的斜率为±3

D.△AOB的面积为4

5.(2024河南开封高二上期末,)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点P(x0,2p)在抛物线C上,且|PF|=3.

(1)求抛物线C的方程;

(2)过焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点,点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),O为坐标原点,若OA·OB=-(x1+x2),求直线l的方程.

题组三抛物线的综合运用

6.(2024山东