2024_2025学年新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程2.2双曲线第二课时精讲含解析新人教A版选择性必修第一册.docx
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双曲线
考点一双曲线的离心率
【例1】（2024·云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1，，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）
A．或 B．或 C． D．或10
【答案】A
【解析】由1，，81成等比数列有：，所以，
当时，方程为，表示焦点在y轴的椭圆，
其中，，故离心率；
当时，方程为，表示焦点在x轴的双曲线，
其中，，故离心率,故选择A.
【一隅三反】
1．（2024·江苏南京）在平面直角坐标系xOy中，若点P(，0)到双曲线C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为（）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】双曲线C：的一条渐近线为，则，解得，.故选：A.
2．（2024·贵州省思南中学高二期末（理））已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，，，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依据题意作图如下：
设.
∵
∴
∵由双曲线焦半径公式知，
∴
∴故选C.
3．（2024·全国）已知，为双曲线的焦点，为与双由线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理得，，
又由得，所以.
故选：C
4．（2024·沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线经过点，
点在直线上，
．
则该双曲线的离心率为.
故选：．
考点二直线与双曲线的位置关系
【例2】已知双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1，问当直线l的斜率k为何值时，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点．
【答案】见解析
【解析】①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当4－k2＝0，即k＝±2时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l与双曲线只有一个公共点．当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).
综上可知，当k＝eq\f(5,2)或k＝±2或直线l的斜率不存在时，过点P的直线l与双曲线都只有一个公共点．
【一隅三反】
1．（2024·福建高二期末（理））若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，
化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知
即解得＜k＜－1.
答案：D.
2．（2024·天水市第一中学高二月考（理））直线：与双曲线：的右支交于不同的两点，则斜率的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，，因为直线与双曲线交于不同的两点，所以，解得，所以斜率的取值范围是，故选C.
3．（2024·四川资阳）直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则实数k的值为
A．－1或1 B．－1
C．1 D．1，－1，0
【答案】A
【解析】因为直线l：kx－y－2k＝0过定点(2,0),而直线l：kx－y－2k＝0与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，所以直线l：kx－y－2k＝0与双曲线渐近线平行，即实数k的值为－1或1，选A.
4．（2024·宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】设，
当直线与轴垂直时，，满意题意
当直线与轴不垂直时，设直线：，
联立直线与双曲线方程得：，整理得：，
所以，，又
=，解得：，
综上：满意这样的直线l的条数为3条
考点三弦长
【例3】（2024·全国高三课时练习）过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．
直线AB的方程为．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0.
∴，.
∴
(2)直线AB的方程变形为.
∴原点O到直线AB的距离为.
∴.
【一隅三反】
1．（2024·全国）已知直线y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为()
A．± B．±或±
C．± D．±
【答案】B
【解析】由直线与双曲线交于两点，得，将代入得，则，即.
设，，则，.