2025版新教材高中数学第二章直线和圆的方程加练课4直线与圆的综合问题学案新人教A版选择性必修第一册.docx

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加练课4直线与圆的综合问题

学习目标

1.进一步驾驭圆的方程及其应用.

2.进一步驾驭点的轨迹方程的求解方法.

3.进一步驾驭圆的弦长、对称以及与圆有关的最值问题.

自主学习·必备学问

夯实基础，自我检测

1.圆x2+y

A.1+2B.2C.1+2

答案：A

2.若直线过点P(-3,-32)

答案：x=-3或3x+4y+15=0

3.在平面直角坐标系中，经过函数f(x)=x2-x-6

（1）求圆C的方程；

（2）求经过圆心C，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.

答案：（1）设圆C的方程为x2+y

将交点的坐标代入圆的方程得36-6E+F=0,4-2D+F=0,9+3D+F=0,

所以圆C的方程为x2

（2）由（1）知，圆心C的坐标为(12,-52)，若直线

若直线l不过原点，设直线l的方程为x+y=a，则a=12-52

综上，直线l的方程为5x+y=0或x+y+2=0.

互动探究·关键实力

探究点一最值问题

精讲精练

例（2024安徽宿州十三所中学高二期中联考）若P是直线l：3x+4y-9=0上一动点，过P作圆C：x2+y2+4x=0的两条切线，切点分别为A

A.5B.25C.7D.

答案：B

解析：易知圆C：(x+2)2+y2

因为过P作圆C的两条切线，所以∠PAC=∠PBC=90°，且

所以四边形PACB的面积S=2S

又|PA|=|PC

所以当|PC|最小时，|PA|最小，四边形PACB的面积最小，

由图象可得，|PC|的最小值即点C到直线l的距离，

所以|PC|

所以|PA|

所以四边形PACB面积的最小值Smin

解题感悟

求解与圆有关的最值问题的两大规律：（1）建立函数关系式求最值，先依据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再依据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等.（2）借助几何性质求最值.

迁移应用

（2024安徽淮南一中高二期中）一束光线从点A(2,3)射出，经x轴上一点C反射后到达圆(x+3)2+(y-2)2

A.32B.

C.42D.

答案：C

解析：易知圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心为(-3,2)，半径为2，所以该圆关于x轴对称的圆的圆心为

探究点二直线与圆的相交、相切问题

精讲精练

例已知点P(2+1,2-2)，点M(3,1)，圆

（1）求过点P的圆C的切线方程；

（2）求过点M的圆C的切线方程，并求切线长.

答案：（1）由题意得圆心C为(1,2)，半径r=2.

∵(2+1-1)2+(2-2-2

又kPC=2-2-2

∴过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2

（2）∵(3-1)2+(1-2)2=5＞4，

当过点M的切线的斜率不存在时，切线的方程为x=3，即x-3=0，满意题意；

当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x-3)，即kx-y+1-3k=0，

则圆心C到切线的距离d=|k-2+1-3k|k2

∴切线方程为y-1=34(x-3)

综上，过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.

∵|MC|=(3-1

∴切线长为|MC|

解题感悟

1.当直线与圆相交时，求直线被圆截得的弦长是高考中的常见题型，此时要充分考虑与圆相关的平面几何学问的运用：（1）垂直于弦的直径平分这条弦；（2）圆心与弦的中点连线垂直于这条弦；（3）d2

2.求过圆外一点P的切线长，利用点P与圆心的距离和半径构成的直角三角形求解.

迁移应用

已知圆C过点P(1,4),Q(3,2)，且圆心C在直线x+y-3=0上.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若过点(2,3)的直线m被圆C截得的弦MN的长是23，求直线m

答案：（1）设圆C的标准方程为(x-a)

依题意可得，

a+b-3=0,

解得a=1,b=2,

∴圆C的标准方程为(x-1)

（2）∵|MN|=23

∴圆心到直线m的距离d=r

①直线m的斜率不存在时，直线m的方程为x=2，满意题意；

②直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-3=k(x-2)，

即kx-y-2k+3=0，

∴d=|k-2-2k+3|k2

∴直线m的方程为y=3.

综上，直线m的方程为x=2或y=3.

评价检测·素养提升

数学运算、直观想象——在轨迹问题中的应用

如图，已知圆C1：(x-1)2+(y+1)2=2，圆C2：(x+2)

（1）若|OQ|=2|OP|，求直线l的方程；

（2）若线段PQ的中点为M，求点