2025-2025学年高二年级下册学期数学人教A版（2025）选择性必修第三册第六章6.3.2二项式系数的性质 课件（共18张PPT）（山东省单县第一中学）（含音频+视频）.pptx

6.3.2二项式系数的性质

1、二项式定理展开式共有个项.n+12、二项展开式的通项3、二项式的系数复习回顾

问题1、计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111通过计算、填表，你发现了什么规律？

(a+b)1…………11(a+b)2…………121(a+b)3…1331(a+b)4…14641(a+b)5…………15101051(a+b)6…………1615201561我们可以从中发现，每一行的系数具有对称性.除此之外,还有什么规律呢？1.在同一行中,每行的两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；2.在相邻的两行中，除1以外，每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

对于展开式的二项式系数从函数角度看，可看成是以k为自变量的函数,其定义域是：对于确定的n，我们还可以画出它的图象，例如，当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点．分析右图，你发现了什么规律？

14641111211331151010511615201561性质1：对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．可直接由公式得到．

n为偶数时，正中间的一项最大n为奇数时，正中间的两项最大11146411211331151010511615201561性质1：对称性

性质2：增减性与最大值

二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，即先增后减，所以在中间项取得最大值。所以，当时，性质2：增减性与最大值∵二项展开式共有n+1项，∴当n为偶数时，正中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值

1、在(a＋b)20展开式中，第五项与第_____项的的二项式系数相同；练习：172、已知(1+x)n的展开式中的第4项和第8项的系数相等，求这两项的二项式系数（课本35页T8）

练习：4、在(a-b)11展开式中，二项式系数最大的是第_____项.系数最小的是第_____项.6和76二项式系数与系数的区别3、（课本复习参考题6T1（7））

（赋值法）令a=1，b=1，则同时由于，上式还可以写成：性质3：各二项式系数的和

例1、求证在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．分析：由(a+b)n的展开式可知，奇数项的二项式系数之和是偶数项的二项式系数之和是由于只是要得到这些系数之和，故可采用赋值法例题分析

例1、求证在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．证明：∴不妨令a=1，b=-1，则可得∴在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和例题分析

例2已知(1+2x)n的展开式中的第6项和第7项的系数相等（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。（1）∵(1+2x)n的展开式有9项∴二项式系数最大的项是例题分析

不妨设第m+1项的系数最大，则解得5≤m≤6∵m∈{0，1，2，…，8}∴m=5或m=6例题分析

(1)二项式系数的三个性质a单调性；b图象；c最值小结与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等先增后减，在中间项取得最大值。(2)数学思想：函数思想

课后作业1、课本34页练习T1、T3、T42、习题6.3剩余的题目