2025年高二年级下册学期数学人教A版（2025）选择性必修第三册 6.3.1二项式定理课件(共23张PPT)(含音频+视频).pptx

问题提出1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等于什么？(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.

探究(一)：二项式定理思考1：将(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)按多项式乘法法则展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？其中不取b，取一个b和一个a，取二个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(a＋b)2的展开式是什么？

思考2：类似地，将(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少项？其中不取b，取一个b和二个a，取二个b和一个a，取三个b的项数用组合数分别怎样表示？由此可得(a＋b)3的展开式是什么？

思考3：在(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数？由此可得(a＋b)4的展开式是什么？

思考4：根据归纳推理，你能猜测出(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么吗？

总结：公式叫做二项式定理，等式右边叫做二项展开式，其中各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.式中叫二项展开式的通项，用表示，即：

思考5：根据二项式定理，(1＋x)n(n∈N*)等于什么？思考6：(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？

思考5：根据二项式定理，(1＋x)n(n∈N*)等于什么？思考6：(a－b)n(n∈N*)的展开式是什么？

思考7：二项展开式在结构上有哪些基本特征？

思考7：二项展开式在结构上有哪些基本特征？1、共有n＋1项；2、字母a的最高次数为n且按降幂排列；3、字母b的最高次数为n且按升幂排列；4、各项中a与b的指数幂之和都是n；5、每项的二项式系数为

思考8：(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什么？思考9：(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么？二项式系数：，系数：.

思考8：(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什么？思考9：(1＋2x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么？二项式系数：，系数：.

注意：正确区分二项式系数与项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关；后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.

[变式训练1]

[变式训练2]

(1)两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题①分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.②找到展开式中特定项的组成部分.③分别求解再相乘,求和即可得.(2)三项或三项以上的展开式问题应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性与简捷性.点睛

小结作业1.二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中n是正整数，a，b可以任意取值，也可以是代数式.2.(a＋b)n的展开式统一规定按a的降幂排列，各项的系数与a，b的取值有关，各项的二项式系数与a，b的取值无关.

3.二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展开式中的第k＋1项.对于求展开式中某些特定的项，一般要分析通项中字母的幂指数来解决.

随堂小练