2019届高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值练习 理 北师大版.doc

第2讲　第2课时　利用导数研究函数的极值、最值 一、选择题 (2016·四川卷)a为函数f(x)＝x－12x的极小值点则a＝(　　) －4 .－2 .4 D.2 解析　f′(x)＝3x－12－2时(x)0，－2x2时(x)0，x2时 f′(x)0，∴x＝2是f(x)的极小值点. 答案　 2.函数f(x)＝－的最小值为(　　) B.1 C.0 D.不存在 解析　f′(x)＝x－＝且x0.令f′(x)0得x1；令f′(x)0得0x1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值且f(1)＝－＝ 答案　 3.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝x＋bx＋cx的图像如图所示则x＋x等于(　　) B. C. D. 解析　由图像可知f(x)的图像过点(1)与(2)，x1，x2是函数f(x)1＋b＋c＝0＋4b＋2c＝0解得b＝－3＝2所以f(x)＝x－3x＋2x所以f′(x)＝3x－6x＋2.x是方程f′(x)＝3x－6x＋2＝0的两根因此x＋x＝2＝所以x＋x＝(x＋x)2－2x＝4－＝ 答案　 4.做一个无盖的圆柱形水桶若要使其体积是27且用料最省则圆柱的底面半径为(　　) 6 D.5 解析　设圆柱的底面半径为R母线长为l则V＝＝27＝要使用料最省只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小. 由题意＝＋2＝＋2. ∴S′＝2－令S′＝0得R＝3则当R＝3时最小.故选 答案　 5.(2017·东北四校联考)已知函数f(x)＝x＋ax＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值则实数a的取值范围是(　　) (－1) B.(－∞－3)∪(6＋∞) (－3) D.(－∞－1)∪(2＋∞) 解析　∵f′(x)＝3x＋2ax＋(a＋6) 由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根. ＝4a－4×3(a＋6)0即a－3a－180 ∴a6或a－3. 答案　 二、填空题 (2017·汉中模拟)已知函数f(x)＝x＋ax＋3x－9若x＝－3是函数f(x)的一个极值点则实数a＝________. 解析　f′(x)＝3x＋2ax＋3. 依题意知－3是方程f′(x)＝0的根 所以3×(－3)＋2a×(－3)＋3＝0解得a＝5. 经检验＝5时(x)在x＝－3处取得极值. 答案　5 (2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则(x)的最大值为________. 解析　当x0时(x)＝－2x0； 当x≤0时(x)＝3x－3＝3(x－1)(x＋1)当x－1时(x)0，f(x)是增函数当－1x0时(x)0，f(x)是减函数. (x)≤f(－1)＝2(x)的最大值为2. 答案　2 设a∈R若函数y＝x＋ax有大于零的极值点则实数a的取值范围是________. 解析　∵y＝＋ax＝＋a. 函数y＝＋ax有大于零的极值点 则方程y′＝＋a＝0有大于零的解 ∵x0时－－1＝－－1. 答案　(－∞－1) 三、解答题 (2015·安徽卷)已f(x)＝(a0). (1)求f(x)的定义域并讨论f(x)的单调性； (2)若＝400求f(x)在(0＋∞)内的极值. 解　(1)由题意可知x≠－r所求的定义域为(－∞－r)∪(－r＋∞). (x)＝＝ f′(x)＝＝ 所以当x－r或xr时(x)0； 当－rxr时(x)0. 因此(x)的单调递减区间为(－∞－r)(r，＋∞)； (x)的单调递增区间为(－r). (2)由(1)的解答可知f′(r)＝0(x)在(0)上单调递增在(r＋∞)上单调递减. 因此＝r是f(x)的极大值点 所以f(x)在(0＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100 f(x)在(0＋∞)内无极小值； 综上(x)在(0＋∞)内极大值为100无极小值. 已知函数f(x)＝(x－k) (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0]上的最小值. 解　(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1) 令f′(x)＝0得x＝k－1. (x)与f′(x)随x的变化情况如下表： (－∞－1) k－1 (k－1＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  －－1  所以(x)的单调递减区间是(－∞－1)；单调递增区间是(k－1＋∞). (2)当k－1≤0即k≤1时(x)在[0]上单调递增 所以f(x)在区间[0]上的最小值为f(0)＝－k； 当0k－11即1k2时 f(x)在[0－1]上单调k－1]上单调递增 所以f(x)在区间[0]上的最小值为f(k－1)＝－－1； 当k－1≥1即k≥2时(x)在[0]上单调递减 所以f(x)在区间[0]上的最小值为f(1)＝(1－k) 综上当k≤1时(x)在[0]上的最小值为f(0)＝－k； 当1k2时(x)在[0]上的最小值为 (k－1)＝－－1； 当k≥2时(x)在[0]上的最小值为f(1)＝(1－k)