2019届高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 第1课时 利用导数研究函数的单调性学案 理 北师大版.doc

§3.2　导数的应用 最新考纲 考情考向分析 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题). 考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大. 1．函数的单调性 如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的． 2．函数的极值 如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值． 如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上是增加的，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上是减少的，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识拓展 1．在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间是增加的或减少的充分不必要条件． 2．可导函数f(x)在(a，b)上是增加的或减少的的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在(a，b)上是增加的，那么一定有f′(x)0.(　×　) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　) (3)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　×　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　√　) 题组二　教材改编 2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上f(x)是增加的 B．在区间(1,3)上f(x)是减少的 C．在区间(4,5)上f(x)是增加的 D．当x＝2时，f(x)取到极小值 答案　C 解析　在(4,5)上f′(x)0恒成立， ∴f(x)是增加的． 3．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　) A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点 C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点 答案　D 解析　f′(x)＝－＋＝(x0)， 当0x2时，f′(x)0，当x2时，f′(x)0， ∴x＝2为f(x)的极小值点． 4．函数f(x)＝x3－6x2的递减区间为__________． 答案　(0,4) 解析　f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)， 由f′(x)0，得0x4， ∴函数f(x)的递减区间为(0,4)． 5．函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________________________． 答案　＋ 解析　∵y′＝1－2sin x， ∴当x∈时，y′0； 当x∈时，y′0. ∴当x＝时，ymax＝＋. 题组三　易错自纠 6．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 答案　C 解析　导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点． 7．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)2(x∈R)，则不等式f(x)2x＋1的解集为___________