2019届高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 第1课时 利用导数研究函数的单调性学案 理 北师大版.doc
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§3.2 导数的应用
最新考纲 考情考向分析 1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题). 考查函数的单调性、极值、最值,利用函数的性质求参数范围;与方程、不等式等知识相结合命题,强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识;题型以解答题为主,一般难度较大.
1.函数的单调性
如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x)0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的.
2.函数的极值
如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,则x0是极大值点,f(x0)是极大值.
如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,则x0是极小值点,f(x0)是极小值.
3.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上是增加的,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上是减少的,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
知识拓展
1.在某区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间是增加的或减少的充分不必要条件.
2.可导函数f(x)在(a,b)上是增加的或减少的的充要条件是对任意x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.
3.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a,b)上是增加的,那么一定有f′(x)0.( × )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( √ )
(3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ )
(4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.( × )
(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( √ )
题组二 教材改编
2.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像,则下面判断正确的是( )
A.在区间(-2,1)上f(x)是增加的
B.在区间(1,3)上f(x)是减少的
C.在区间(4,5)上f(x)是增加的
D.当x=2时,f(x)取到极小值
答案 C
解析 在(4,5)上f′(x)0恒成立,
∴f(x)是增加的.
3.设函数f(x)=+ln x,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
答案 D
解析 f′(x)=-+=(x0),
当0x2时,f′(x)0,当x2时,f′(x)0,
∴x=2为f(x)的极小值点.
4.函数f(x)=x3-6x2的递减区间为__________.
答案 (0,4)
解析 f′(x)=3x2-12x=3x(x-4),
由f′(x)0,得0x4,
∴函数f(x)的递减区间为(0,4).
5.函数y=x+2cos x在区间上的最大值是________________________.
答案 +
解析 ∵y′=1-2sin x,
∴当x∈时,y′0;
当x∈时,y′0.
∴当x=时,ymax=+.
题组三 易错自纠
6.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图像如图所示,则函数f(x)( )
A.无极大值点、有四个极小值点
B.有三个极大值点、一个极小值点
C.有两个极大值点、两个极小值点
D.有四个极大值点、无极小值点
答案 C
解析 导函数的图像与x轴的四个交点都是极值点,第一个与第三个是极大值点,第二个与第四个是极小值点.
7.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)2(x∈R),则不等式f(x)2x+1的解集为___________
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