2019届高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 高考专题突破一 高考中的导数应用问题学案 理 北师大版.doc

高考专题突破一　高考中的导数应用问题 【考点自测】 1．若函数f(x)＝2sin x(x∈[0，π])的图像在点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图像在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为(　　) A. B．2 C. D. 答案　A 解析　f′(x)＝2cos x∈[－2,2]， g′(x)＝＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)． 当两函数的切线平行时，xp＝0，xQ＝1. 即P(0,0)，Q，∴直线PQ的斜率为. 2．(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 答案　A 解析　函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1 ＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]． 由x＝－2是函数f(x)的极值点，得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0， 所以a＝－1. 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)． 由ex－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0； 当x＞1时，f′(x)＞0. 所以x＝1是函数f(x)的极小值点． 所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1. 故选A. 3．(2018·西宁质检)若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减少的，则b的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 答案　C 解析　由题意可知f′(x)＝－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．由于g(x)＝x(x＋2)在(－1，＋∞)上是增加的且g(－1)＝－1，所以b≤－1.故选C. 4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝ . 答案　1－ln 2 解析　y＝ln x＋2的切线方程为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)． y＝ln(x＋1)的切线方程为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)， ∴ 解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 5．(2017·江苏)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是 ． 答案　 解析　因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－ ＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)， 所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数． 因为f(a－1)＋f(2a2)≤0， 所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)． 因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2 ＝3x2≥0，当且仅当x＝0时“＝”成立， 所以f(x)在R上是增加的， 所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0， 所以－1≤a≤. 题型一　利用导数研究函数性质 例1 (2018·沈阳质检)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 解　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a， 可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)， 所以g′(x)＝－2a＝. 当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)是增加的； 当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)是增加的，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)是减少的． 所以当a≤0时，函数g(x)的递增区间为(0，＋∞)； 当a＞0时，函数g(x)的递增区间为， 递减区间为. (2)由(1)知，f′(1)＝0. ①当a≤0时，f′(x)是增加的， 所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)是减少的， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增加的， 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意； ②当0＜a＜，即＞1时，由(1)知f′(x)在是增加的． 可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0， 当x∈时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(0,1)上是减少的，在上是增加的． 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意； ③当a＝，即＝1时，f′(x)在(0,1)上是增加的， 在(1，＋∞)上是减少的， 所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)是减少的，不符合题意； ④当a＞，即0＜＜1时， 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增加的， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)是减少的