2019届高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 定积分与微积分基本定理学案 理 北师大版.doc

§3.3　定积分与微积分基本定理 最新考纲 考情考向分析 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 利用定积分求平面图形的面积，定积分的计算是高考考查的重点. 1．定积分的定义 给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)： 将[a，b]区间分成n份，分点为a＝x0x1x2…xn－1xn＝b. 第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[xi－1，xi]上的值最大．设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在[xi－1，xi]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δxi＋…＋f(ζn)Δxn. 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分． 记作?f(x)dx，即?f(x)dx＝A. 2．定积分的性质 ①?1dx＝b－a. ②?kf(x)dx＝k?f(x)dx. ③?[f(x)±g(x)]dx＝?f(x)dx±?g(x)dx. ④?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx. 3．微积分基本定理 如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有?f(x)dx＝F(b)－F(a)． 知识拓展 1．定积分应用的常用结论 当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx. (2)若f(x)为奇函数，则?f(x)dx＝0. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?f(x)dx＝?f(t)dt.(　√　) (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx0.(　√　) (3)若?f(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　×　) (4)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是?(x2－x)dx.(　×　) 题组二　教材改编 2．?dx＝ . 答案　1 解析　?dx＝ln(x－1)|＝ln e－ln 1＝1. 3．?dx＝ . 答案　 解析　?dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝所围成的图形的面积， ∴?dx＝. 4．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的位移是 m. 答案　 解析　s＝?(3t＋2)dt＝| ＝×4＋4－＝10－＝(m)． 题组三　易错自纠 5．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案　D 解析　如图，y＝4x与y＝x3的交点为A(2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积． S阴＝?(4x－x3)dx ＝| ＝8－×24＝4，故选D. 6．若?x2dx＝9，则常数T的值为 ． 答案　3 解析　∵?x2dx＝x3|＝T3＝9，∴T＝3. 7．已知f(x)＝则?f(x)dx的值为 ． 答案　 解析　?f(x)dx＝?x2dx＋?1dx ＝+x|＝＋1＝. 题型一　定积分的计算 1．?e|x|dx的值为(　　) A．2 B．2e C．2e－2 D．2e＋2 答案　C 解析　?e|x|dx＝?e－xdx＋?exdx ＝－e－x|＋ex|＝[－e0－(－e)]＋(e－e0) ＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C. 2．(2017·昆明检测)设f(x)＝ 则?f(x)dx等于(　　) A. B. C. D．不存在 答案　C 解析　如图，?f(x)dx＝?x2dx＋?(2－x)dx ＝x3+| ＝＋＝. 3．(2018·唐山调研)定积分?(x2＋sin x)dx＝ . 答案　 解析　?(x2＋sin x)dx ＝?x2dx＋?sin xdx ＝ ?x2dx=2·|＝. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分． (2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分． 题型二　定积分的几何意义 命题点1　利用定积分的几何意义计算定积分 典例 (1)计算：? dx＝