《志鸿优化设计》2026届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第三章导数及其应用3．4微积分基本定理.doc

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3.4微积分基本定理

eq\a\vs4\al(考纲要求)

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

2．了解微积分基本定理的含义．

1．定积分的定义和相关概念

(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式______________，当n→∞时，上述和式无限接近________，这个______叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作________，即eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＝____________.

(2)在eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx中，______分别叫做积分下限与积分上限，区间______叫做积分区间，________叫做被积函数，____叫做积分变量，______叫做被积式．

2．定积分的几何意义

(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(甲图中阴影部分)．

(2)一般情况下，定积分eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(乙图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

3．定积分的性质

(1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)kf(x)dx＝________(k为常数)；

(2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)[f(x)±g(x)]dx＝____________；

(3)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＝__________(其中a＜c＜b)．

4．微积分基本定理

一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a)f(x)dx＝________.

这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．

为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作________，即eq\a\vs4\al(∫)baf(x)dx＝F(x)|eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)．

1.eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(4,2)eq\f(1,x)dx＝()．

A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln

2．下列值等于1的积分是()．

A．eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)xdx B．eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)(x＋1)dx

C．eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)1dx D．eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)eq\f(1,2)dx

3．(2026届山东潍坊四县一校期中联考)已知t＞0，若eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(t,0)(2x－2)dx＝8，则t＝()．

A．1 B．－2

C．－2或4 D．4

4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()．

A．1B.eq\f(4,3)C.eq\r(3)D．2

5．根据定积分的几何意义计算定积分：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,1)|x－2|dx＝__________.

6．(2025山东高考)设a＞0，若曲线y＝eq\r(x)与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________.

一、利用微积分基本定理计算定积分

【例1】计算下列定积分：

(1)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(3,－1)(3x2－2x＋1)dx；

(2)eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(e,1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)＋\f(1,x2)))dx；

(3)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,\f(1,x)，x∈?1，e]，))试求eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al