《志鸿优化设计》2026届高考数学人教A版理科一轮复习教学案：第九章解析几何9．7抛物线.doc
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9.7抛物线
eq\a\vs4\al(考纲要求)
1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2．理解数形结合的思想．
3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F______
F______
F______
F______
离心率
e＝____
准线方程
________
________
________
________
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq\f(p,2)
|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)
|PF|＝y0＋eq\f(p,2)
|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)
1．抛物线y＝8x2的准线方程为()．
A．x＝－2 B．x＝－eq\f(1,2)
C．y＝－eq\f(1,8) D．y＝－eq\f(1,32)
2．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()．
A．2 B．3 C．4 D．
3．已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为()．
A．4 B．－eq\f(1,4) C．－4 D．eq\f(1,4)
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的右焦点重合，则p的值为__________．
5．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．
一、抛物线的定义及其应用
【例1－1】设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝()．
A．4eq\r(3) B．8 C．8eq\r(3) D．16
【例1－2】已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，则|PA|＋|PM|的最小值是()．
A．eq\f(7,2) B．4 C．eq\f(9,2) D．5
方法提炼
利用抛物线的定义可解决的常见问题：
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．
提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．
请做演练巩固提升1,3
二、抛物线的标准方程及其几何性质
【例2－1】设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
【例2－2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
方法提炼
1．求抛物线的标准方程的方法及注意事项
(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可；
(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
2．抛物线的标准方程及其性质的应用
由抛物线的方程可求x，y的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p值，确定焦点坐标等．
提醒：抛物线方程中的参数p＞0，其几何意义是焦点到准线的距离．
请做演练巩固提升2,4
要注重抛物线定义的运用
【典例】(12分)(2025课标全国高考)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l.A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4eq\r(2)，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C