《志鸿优化设计》2026届高考数学（苏教版）一轮复习题库：第9章解析几何9．5椭圆练习.doc

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课时作业45椭圆

一、填空题

1．(2025江南五校联考)椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4＋k)＝1的离心率为eq\f(4,5)，则k的值为__________．

2．(2025江西高考改编)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为__________．

3．(2025江苏徐州高三质检)已知椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，直线x＝eq\f(a2,c)与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于__________．

4．直线l交椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1于A，B两点，AB中点M的坐标是(2,1)，则直线l的方程为__________．

5．已知椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0＜eq\f(x\o\al(2,0),2)＋yeq\o\al(2,0)＜1，则PF1＋PF2的取值范围为__________，直线eq\f(x0x,2)＋y0y＝1与椭圆C的公共点个数为__________．

6．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是__________．

7．(2025江苏南通基地密卷(一))已知正方形ABCD的顶点坐标分别是A(－1,0)，B(0，－1)，C(0,1)，D(1,0)，动点M满足：kMB·kMD＝－eq\f(1,2)，则MA＋MC＝__________.

8．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C，D的坐标分别是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，则PC·PD的最大值为__________．

二、解答题

9．(2025江苏南京四校联考)如图，椭圆的中心为原点O，已知直线l的方程为x＝eq\f(a2,c)＝4，右焦点F到它的距离为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程．

10.(2025安徽高考)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝eq\f(a2,c)于点Q.

(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；

(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．

11.(2025江苏盐城摸底考试)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线y＝t(0＜t＜8)与线段AF1，AF2分别交于点P，Q.

(1)当t＝3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程．

(2)过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C.

①求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上；

②圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

参考答案

一、填空题

1．－eq\f(19,25)或21解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝eq\r(5－k).

由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，得eq\f(\r(5－k),3)＝eq\f(4,5)，

解得k＝－eq\f(19,25).

若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝eq\r(k－5)，

由eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，得eq\f(\r(k－5),\r(4＋k))＝eq\f(4,5)，解得k＝21.所以k的值为－eq\f(19,25)或21.

2.eq\f(\r(5),5)解析：因为A，B为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，

所以AF1＝a－c，F1F2＝2c，F1B＝a＋c.

又因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.

所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).

3.eq\f(\r(3),3)解析：由题意，得

eq\f(\f(b2,a),\f(a2,c)－c)＝eq\f(\r(3),3)，

解得eq\f(c,a