2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第三章　导数及其应用+第2讲　第2课时　导数与函数的极值、最值.2+第2课时+Word版含答案.doc

第2课时　导数与函数的极值、最值 题型一　用导数求解函数极值问题 命题点1　根据函数图像判断极值 典例设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案　D 解析　由题图可知，当x－2时，f′(x)0； 当－2x1时，f′(x)0； 当1x2时，f′(x)0； 当x2时，f′(x)0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值， 在x＝2处取得极小值． 命题点2　求函数的极值 典例 (2017·泉州质检)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值． 解　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－. 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴， 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e. (2)f′(x)＝1－， ①当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，所以函数f(x)无极值． ②当a0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a， 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上是减少的， 在(ln a，＋∞)上是增加的，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值． 命题点3　根据极值求参数 典例 (1)(2017·沧州模拟)若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________． 答案　∪ 解析　f′(x)＝3x2－4cx＋1， 由f′(x)＝0有两个不同的根， 可得Δ＝(－4c)2－120， ∴c或c－. (2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　函数f(x)在区间上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根且在内有根，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，得a－2或a2.由f′(x)＝0在内有根，得a＝x＋在内有解， 又x＋∈，所以2≤a， 综上，a的取值范围是. 思维升华函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性． 跟踪训练 (1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 答案　C 解析　∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x－1时，f′(x)0， 当－1x0时，f′(x)0， 当0x1时，f′(x)0， 当x1时，f′(x)0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点． (2)函数y＝2x－的极大值是________． 答案　－3 解析　y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1. 当x－1或x0时，y′0；当－1x0时，y′0. ∴当x＝－1时，y取极大值－3. 题型二　用导数求函数的最值 典例 (2017·洛阳模拟)已知函数f(x)＝＋kln x，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值． 解　f′(x)＝＋＝. ①若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)0， 所以f(x)在上是减少的． ②若k≠0，则f′(x)＝＝. (ⅰ)若k0，则在上恒有0. 所以f(x)在上是减少的， (ⅱ)若k0，由k， 得e，则x－0在上恒成立， 所以0， 所以f(x)在上是减少的． 综上，当k时，f(x)在上是减少的， 所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1， f(x)max＝f＝e－k－1. 引申探究　 本例中若函数为“f(x)＝ln x－x2”，则函数f(x)在上的最大值如何？ 解　由f(x)＝ln x－x2， 则f′(x)＝－x＝， 因为当≤x≤e时，令f′(x)0，得≤x1； 令f′(x)0，得1x≤e， 所以f(x)在上是增加的，在(1，e]上是减少的， 所以