2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第三章　导数及其应用+第2讲　第3课时　导数与函数的综合应用+Word版含答案.doc

第3课时　导数与函数的综合应用 一、选择题 1．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，年产量是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 解析　由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100 x， 总利润P(x)＝ 又P′(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大． 答案　D 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x0时，有0恒成立，则不等式x2f(x)0的解集是(　　) A．(－2,0)(2，＋∞) B．(－2,0)(0,2) C．(－∞，－2)(2，＋∞) D．(－∞，－2)(0,2) 解析　x0时′0，φ(x)＝在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0， 当且仅当0x2时，φ(x)0，此时x2f(x)0. 又f(x)为奇函数，h(x)＝x2f(x)也为奇函数． 故x2f(x)0的解集为(－∞，－2)(0,2)． 答案　D 3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，7] B．(－∞，－20] C．(－∞，0] D．[－12,7] 解析　令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)． f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20， f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20. 答案　B 4．(2017·景德镇联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表： x －1 0 2 3 4 f(x) 1 2 0 2 0 f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．当1a2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示． 由于f(0)＝f(3)＝2,1a2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4. 答案　D 5．(2014·全国卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－1) 解析　a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝. 若a0，则由图像知f(x)有负数零点，不符合题意． 则a0，由图像结合f(0)＝10知，此时必有 f0，即a×－3×＋10， 化简得a24. 又a0，所以a－2. 答案　C 二、填空题 6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 解析　由y′＝x2－39x－40＝0， 得x＝－1或x＝40， 由于0x40时，y′0； x40时，y′0. 所以当x＝40时，y有最小值． 答案　40 7．已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝________. 解析　设f(x)＝x3－3x＋c， 对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，可得x＝±1， 易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 在(－1,1)上单调递减． 若f(1)＝1－3＋c＝0，可知c＝2； 若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2. 答案　－2或2 8．(2017·长沙调研)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)f′(x)，且f(0)＝1，则不等式1的解集为________． 解析　构造函数g(x)＝， 则g′(x)＝＝. 由题意得g′(x)0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减． 又g(0)＝＝1，所以1，即g(x)1，所以x0，所以不等式的解集为(0，＋∞)． 答案　(0，＋∞) 三、解答题 9．据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)． (1)试将y表示为x的函数； (2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值． 解　(1)设点C受A污染源污染程度为， 点C受B污染源污染程度为， 其中k为比例系数，且k0，从而点C处受污染程度y＝＋. (2)因为a＝1，所以，y＝＋， y′＝k， 令y′＝0，得x＝， 又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8. 10．(2017·