2019届高考数学(北师大版文)复习配套练习:第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ+第8讲 函数与方程、函数的应用+Word版含答案.doc
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第8讲 函数与方程、函数的应用
一、选择题
1.(2017·赣中南五校联考)函数f(x)=3x-x2的零点所在区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(-2,-1) D.(-1,0)
解析 由于f(-1)=-0,f(0)=30-0=10,
f(-1)·f(0)0.则f(x)在(-1,0)内有零点.
答案 D
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )
A.,0 B.-2,0
C. D.0
解析 当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x1,所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2)
C.(0,3) D.(0,2)
解析 因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,所以0a3.
答案 C
4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有 L,则m的值为( )
A.5 B.8
C.9 D.10
解析 5 min后甲桶和乙桶的水量相等,
函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5n=a,
可得n=ln,f(t)=a·,
因此,当k min后甲桶中的水只有 L时,
f(k)=a·=a,即=,
k=10,由题可知m=k-5=5.
答案 A
5.(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( )
A. B.
C.- D.-
解析 令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,只有一个实根,即2x2-x+1+λ=0只有一个实根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.
答案 C
二、填空题
6.(2016·浙江卷)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,xR,则实数a=________,b=________.
解析 f(x)=x3+3x2+1,则f(a)=a3+3a2+1,
f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax+a2)
=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b=x3+3x2-a3-3a2.
由此可得
a≠0,由得a=-2b,代入式得b=1,a=-2.
答案 -2 1
7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
解析 设过滤n次才能达到市场要求,
则2%n≤0.1%,即n≤,
所以nlg≤-1-lg 2,所以n≥7.39,所以n=8.
答案 8
8.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点,则a的值为________.
解析 函数y=|x-a|-1的图像如图所示,因为直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图像只有一个交点,故2a=-1,解得a=-.
答案 -
三、解答题
9.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a,
(1)判断命题:“对于任意的aR,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a的取值范围.
解 (1)“对于任意的aR,方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意,f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,
因为Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的aR恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.
(2)依题意,要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,只需即解得a.
故实数a的取值范围为.
10.(2017·陕西实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v=a+blog3(其中a、b是实数).据统计,该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a、b的值;
(2)若这种鸟类为赶路
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