重积分 复习(北工大).ppt

导数与微分 * * 一、二重积分的计算 1定理1 若函数 在闭矩形域 可积，且 存在， 则累次积分 也存在，且 2推论 若函数 在[a,b]可积，函数 在[c,d]可积，则乘积函数 在闭矩形域 也可积，且 ３．X型与y型区域 定义　设函数　　　　　　在闭区间 连续；函数　　　　　　在闭区间 连续，则x型区域 y型区域 积分区域为： 其中函数 、 在区间 上连续. 如图 x型区域 y型区域 定理2 设有界闭区域R是由两条光滑曲线 以及直线x=a与x=b所围成。 在R可积，且 定积分 存在， 也存在，且 则累次积分 若函数 如何利用累次积分求二重积分(以　 型为例) 化为先对　，后对　　的累次积分. 首先将R投影到Ｘ轴，得到闭区间　　　， 在区间　　 上任取一点　，关于　积分， 在R内　的积分限由 然后关于　　从　 　到　　积分． 　　　到　 二、二重积分的换元 定理2 若函数　　　 在有界闭区域R连续， 函数组 　　　　　　　　　将 平面上区域　　一对一地变换为xy平面上区　 域R。且函数组 　　　　　　　　 在 　 上对 与对 存在连续偏导数， 有 则 极坐标变换 面积微元 设曲面S的方程为： 曲面的面积 曲面面积为 第一型曲面积分的特殊情况 利用参数方程来计算 曲面面积 例1　计算二重积分　　　　其中D是由直线 和双曲线　　　 所围成， D既是x型区域又是y型区域． 例2 将二重积分　　　　　 化为按不同次序　　　　　 的累次积分，其中R是由上半圆周 抛物线　　　　　 和直线　　　　　 所围成． 截下的有限曲面片的面积. 被柱面 例3 求曲面 例4 所围平面闭区域. 例5 计算由下列曲线围成的面积 例6 例7 计算球体　　　　　　　被圆柱面 所截得的那部分立体的体积 其中　是以 所围成． 例8 二、三重积分 1.直角坐标系中将三重积分化为三次积分． 设积分区域V为 如 图， 过点 闭区域V在xoy平面的投影为闭区域D. 再计算 得 则 注 相交不多两点情形. x 0 z y z=z2(x,y) I = P ? D z=z1(x,y) 这就化为一个 定积分和一个 二重积分的运算 三. 三重积分换元法 定 理 若三元函数 在有界闭体 连续, 则三重积分 存在. 设函数组 在 空间有界闭体 有定义.若满足 下列条件: 1) 函数 所有的偏导数在 连续; 2) * *