重积分的概念和性质北工大.ppt

一、曲顶柱体的体积二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、二重积分的计算五、二重积分的换元六、曲面的面积柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.一．曲顶柱体的体积曲顶柱体求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、求和、取极限。步骤如下：1.分割把R任意分成n个小区域其中表示第k个小区域，设其面积为对应的小曲顶柱体体积为2.取近似在每个小区域上任取一点,则此分法记为．3.求和取极限设n个小区域的直径分别为称是曲顶柱体的体积．二、二重积分的概念01添加标题１定义02添加标题设是有界闭区域R上的有界函数,03添加标题任意分法T将闭区域R分成n个小闭区域：04添加标题设表示第k个小闭区域05添加标题的面积，在每个上任取一点06添加标题作乘积07添加标题并作和08添加标题令如果当和式的存在极限，记为则称此函数在闭区域R上可积．有是二元函数在R的二重积分，记为积分区域积分和被积函数积分变量面积微元曲顶柱体的体积２．大和，小和，振幅的定义设与分别是函数在的上确界与下确界，则小和大和振幅二重积分存在的充分必要条件定理1函数在有界闭区域R可积证明已知函数在R可积，设二重积分是I,即有或又已知小和与大和分别是积分和在R的下确界与上确界．或则设有由已知条件，当时，有设，有由已知对积分和有由上面两个不等式，有可得即函数在有界闭区域R可积．定理2若函数在有界闭区域R内添加标题到最大值与最小值，添加标题即存在两点添加标题连续，则函数在R可积。添加标题证明添加标题由连续函数的性质,函数添加标题在R一致连续，即添加标题有添加标题（表示的面积）添加标题将R分成n个小闭区域添加标题函数在必能取添加标题使与则有函数在R可积．定理3若函数性质１４．二重积分的性质在有界闭区域R内则函数在R可积。有界，间段点只分布在有限条光滑曲线上,（二重积分与定积分有类似的性质）当k为常数时，