瑕积分 习题课(北工大).ppt

* * 一、暇积分的敛散性判别法 定理1 （柯西收敛准则）瑕积分 收敛（ 是瑕点） 有 定理2 设　　　　　有 c是正常数。 若瑕积分　　　　 收敛（ 是瑕点）， 也收敛． 则瑕积分 2.若瑕积分　　　　 发散（ 是瑕点）， 则瑕积分　　　　 也发散。 推论　设　　　　　 若函数　　　 是瑕点，且极限 １）若　　　　　　 ，则瑕积分 收敛． ２）若　　　　　 ，则瑕积分 发散． 注: 关键是找到合适的 . 例1 求二元函数　　　　　　　　　　　　　 的定义域． 例2 判断反常函数　　　　 的敛散性． 定理3（狄利克雷判别法） 设函数　　 与　　 在区间　　　有定义， 在任何区间　　　 都可积（　是瑕点）， 　 若 １)若积分　　　　 为　 的有界函数, 即　　　　　　　有 ２）函数　　在　　上是单调的，且 则瑕积分　　　　　　 收敛． 定理4(阿贝尔判别法) 设函数　　与　　 在区间　　　有定义， 在任何区间　　　 都可积（　是瑕点）， 　 若 1) 积分 收敛; 2) 使 在 单调且有界. 则瑕积分　　　　　　 收敛． 例 讨论瑕积分 的敛散性. 练习 1.判别下列积分的敛散性