重积分的计算(北工大).ppt

导数与微分 * 二重积分的换元 定理1 设有界闭区域R是由两条光滑曲线 以及直线x=a与x=b所围成。 在R可积，且 定积分 存在， 也存在，且 则累次积分 若函数 若有界闭区域R是 型区域,函数 存在，且 在R可积， 存在， 则累次积分 且　　　　　 ，定积分 如何利用累次积分求二重积分(以　 型为例) 化为先对　，后对　　的累次积分. 首先将R投影到Ｘ轴，得到闭区间　　　， 在区间　　 上任取一点　，关于　积分， 在R内　的积分限由　　　到　　　．　 然后关于　　从　 　到　　积分． 例　计算二重积分　　　　其中D是由直线 和双曲线　　　 所围成， D既是x型区域又是y型区域． 例　将二重积分　　　　　 化为按不同次序　　　　　 的累次积分，其中R是由上半圆周 抛物线　　　　　 和直线　　　　　 所围成． 五、二重积分的换元 定理2 若函数　　　 在有界闭区域R连续， 函数组 　　　　　　　　　将 平面上区域　　一对一地变换为xy平面上区　 域R。且函数组 　　　　　　　　 在 　 上对 与对 存在连续偏导数， 有 则 证明 用任意分法T将区域R分成n个小区域： 设其面积分别是 在R’上有对应的分法T’,它将R’对应 分成n个小区域 设其面积分别是 有 在　　对应唯一一点 而 函数组在R上存在反函数组 此函数组在R上 一致连续，当　　　　时， 两边取极限（　　　　），有 例1　计算曲线 　　　　　　　　 所围成区域R的面积　　． 例2　计算两条抛物线　 　　与 和两条直线　　　　与　　　　所围 成区域 的面积　　　 与 例3 解 * *