重积分的概念和性质.ppt

第九章重积分

一元函数积分学

多元函数积分学重积分

在一元函数积分学中，定积分是定义在某一区间

上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由

于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形

体的体积、曲面的面积、空间物体的质量等，定

积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学

逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的

推广，从而提出了多元函数的积分学问题。

当人们把定积分解决问题的基本思想——

01

“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是

完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函

数积分学。

本章将讨论二重积分的概念、性质、计算和应用。

02

重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。

难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。

基本要求

①理解重积分概念，了解其基本性质

②熟练掌握重积分的计算方法

③掌握累次积分的换序法

④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元

第一

节

二重积分的概

念与性质

一、引例

二、二重积分的定义

三、二重积分的性质

１．曲顶柱体的体积

柱体体积=底面积×高

特点：平顶.

一、问题的提

出(引例）zf(x,y)

柱体体积=？

特点：曲顶.

1解法:类似定积分解决问题的思想

2底：xoy面上的闭区域D

分析：

曲顶柱体:

3顶:连续曲面

侧面：以D的边界为准线,母线平行于

4

z轴的柱面

求曲顶柱体的体积

采用“分割、近

似代替、求和、取

极限”的方法，如

下动画演示．

步骤如下：

先分割曲顶柱体的底，z

并取典型小区域，zf(x,y)

用若干个小平

顶柱体体积之

y

和近似表示曲o

顶柱体的体积，

(i,i)

xD

ni

曲顶柱体的体积

Vlimf(i,i)i.

0

i1

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域

D，在点(x,y)处的面密度为(x,y)，假定

(x,y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？

将薄片分割成若干小块，y

２．求平面薄(,)

取典型小块，将其近似ii

片的质量

看作均匀薄片，