常见的定积分的概念与性质(精).ppt

山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分 第一节 定积分的概念与性质 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 一、定积分问题举例 曲边梯形 设函数y?f(x)在区间[a, b] 上非负、连续. 由直线x?a、x?b、 y?0及曲线y?f (x)所围成的图形 称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边. 如何计算其面积？ a b x y o y=f(x) x=b x=a 在初等函数里面，我们只会计算规则图形的面积， 如长方形，圆形等。如何计算不规则图形的面积，是 我们需要解决的问题。 解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3) 求和. 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 元素法 1 化整为零 2 以直代曲 (以常代变) 3 积零为整 y x o y=f (x) a b . . 分法越细，越接近精确值 1. 曲边梯形的面积 f (?i) . 元素法 4 取极限 y x o y=f (x) 令分法无限变细 . a b . . . 分法越细，越接近精确值 1 化整为零 2 以直代曲 (以常代变) 3 积零为整 f (?i) 1. 曲边梯形的面积 元素法 4 取极限 y x o y=f (x) 令分法无限变细 . . . . 分法越细，越接近精确值 1 化整为零 2 以直代曲 (以常代变) 3 积零为整 f (?i) S = . S . a b 1. 曲边梯形的面积 2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v?v(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)?0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1?t0t1t2 ??? tn?1tn?T2, Dti?ti?ti?1; (2)近似: 物体在时间段[ti?1, ti]内所经过的路程近似为 DSi?v(?i)Dti ( ti?1? iti ); 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为 (3)求和: (4)取极限: 记??max{Dt1, Dt2,???, Dtn}, 物体所经过的路程为 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 1. 曲边梯形的面积 2.变速直线运动的路程 许多问题的解决都可以化为上述特定和式的问题， 将其一般化，就得到定积分的概念. 1. 定积分的定义 (i?1, 2,???, n), 作和 ??max{Dx1, Dx2,???,Dxn}; 在小区间[xi?1, xi]上任取一点xi 记Dxi=xi-xi?1 (i?1, ???, n), 个分点: a?x0x1x2 ??? xn?1xn?b; 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为 即 二、定积分的定义 在区间[a, b]内插入n-1 如果当??0时, 上述和式的 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 2.函数的可积性 定理1:如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x) 在区间 [a, b]上可积. 定理2:如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限 个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. 1.定积分的定义 二、定积分的定义 根据定积分的定义 , 曲边梯形的面积为 ò = b a dx x f A ) ( . 变速直线运动的路程为 dt t v S T T ) ( 2 1 ò = . 3.定积分的几何意义: 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 解 把区间[0, 1]分成n等份, 分点为和小