2024_2025学年新教材高中数学第13章立体几何初步13.2基本图形位置关系13.2.1平面的基本性质学案含解析苏教版必修第二册.doc
PAGE
9-
13.2基本图形位置关系
13.2.1平面的基本性质
学习任务
核心素养
1．了解平面的概念、画法，会用图形与字母表示平面．(重点)
2．会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．(易错点)
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本领实，理解三个基本领实的地位与作用．(重点、难点)
1．通过对空间点、线、面位置关系的学习，培育直观想象素养．
2．借助于三个基本领实与推论的应用，培育逻辑推理素养．
一望无尽的草原、安静的湖面给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？你能想象数学中“平面”的描述吗？生活中用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，为什么？木匠师傅将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整，你能从数学的角度加以说明么？
学问点1平面的概念及表示
(1)平面的概念
平面是从现实世界中抽象出来的几何概念．它没有厚薄，是无限延展的．
(2)平面的表示方法
①图形表示
平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图(如图所示)．
②字母表示
平面通常用希腊字母α，β，γ，…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面α、平面AC等．
(3)点、线、面位置关系的符号表示
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C?AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1?平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内
AB?平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1?平面AC
1．(多选题)如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面可以记为()
A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ
BCD[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN．]
学问点2平面的基本领实
(1)平面的基本领实
①基本领实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
基本领实1也可简洁地说成，不共线的三点确定一个平面．
②基本领实2：假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
用符号表示为：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))?AB?α．
③基本领实3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
用符号表示为：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β))?α∩β＝l且P∈l．
(2)基本领实的推论
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．下列说法正确的是()
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
D[A错误，不共线的三点可以确定一个平面．
B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
C错误，四边形不肯定是平面图形．
D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]
类型1三种语言的转换
【例1】(1)如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
①②
(2)用符号语言表示语句：“平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC”，并画出图形．
[解](1)①α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，l∥m．
②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O．
(2)符号语言表示：
平面ABD∩平面BDC＝BD，
平面ABC∩平面ADC＝AC．
图形表示如图．
1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先细致视察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
2．要留意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示．
3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要留意实线和虚线的区分．
[跟进训练]
1．依据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．
(1)(2)
图(1)可以用几何符号表示为________________．
图(2)可以用几何符号表示为________________．
[答案](1)α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥AB，a∥b
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A?l，B?l
类型2点线共面问题
【例2】已知一条直线与另外三条相互平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
[证明]如图．
法一：∵a∥b，
∴a，b确定平面α．
又∵l∩a＝