第三章一阶线性微分方程组.ppt

常微分方程课件;第三章　线性微分方程组 　　　　　　　　　 ;3．1 一阶微分方程组　　在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.;　例如，已知在空间运动的质点;因为;含有n个未知函数;;则称后者为(3.1)的通积分. 如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件 ;为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1).令n维向量函数 ;;定义 ;3.对任意常数;有了n维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念.即：如果对;有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理. 定理3.1 如果函数F(x,Y)在n+1维空间的区域 ;。　　定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程 ;最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个解就是n+1维空间(x,Y)中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3)的积分曲线。 3.2 一阶线性微分方程组的一般概念;则称(3.6)为一阶线性微分方程组。我们总假设(3.6)的系数;根据3.1节的记号，(3.6)就可以写成向量形式 ;定理3.1′ 如果(3.7)中的A(x)及F(x)在区间I =;本节要点：　　1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义。　　2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在。;????;证明 因为;定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念. ;?例1 向量函数??????????????;?例3 向量函数 ;?例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组.这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价. 下面介绍n个n维向量函数组;?定理3.3 如果向量组(3.10)在区间I上线性相关，则它们的朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零.????证明 依假设，存在不全为零的常数;对于一般的向量函数组,定理3.3的逆定理未必成立.例如向量函数????????????????????;???????;的解.因此，根据定理3.1′有即????????????????;实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题.????推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点不为零.????条件的充分性由推论3.1立即可以得到．????必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕． 2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解称为它的基本解组.????例4 易于验证向量函数;???????;? ???? ??;?证明 我们仅需证明如下两点.????首先，由定理3.2，对任意一组常数;这是一个线性非齐次代数方程组，它的系数行列式恰是线性无关解;实际上，设;?定理3.7 如果;?????;分别代入;或 ??????????????????;本讲要点：????1．一阶线性齐次微分方程组的所有解构成一个线性空间．????2．向量函数组和解组相关性判定向量函数组 向量解组线性相关 线性相关线性无关 线性无关????3．齐次线性方程组通解基本定理解空间是n维线性空间．????4．刘维尔公式解与系数关系．;3．4 一阶线性非齐次方程组的一般理论本节研究一阶线性非齐次方程组?????????????????????????;??;是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组(3.7)的通解为???????????????????;即???????????????;???????????????;它的各个分量;因为;????;从而????????????;??;我们知道，约当标准型;方程组(3.20)变为 ????????;??;??????;即?????????????????????????;可得?????????????????????????????; 本讲要点：????1．非齐次通解=对应齐次通解+非齐次一个特解????2．常数变易法适用于：????先求出齐次通解;　第16讲　常系数线性微分方程组的解法(复、重根) 1．常系