8-1多元函数基本概念.ppt

四、多元函数的连续性 设二元函数 则称函数 定义3 多元函数的基本概念 P0(x0, y0)为D的聚点, 且 P0∈D. 如果 连续. 如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的 每一点连续, 则称函数 在D内连续, 或称函数 是 D内的连续函数. 的定义域为D, 的不连续点, 多元函数的基本概念 若函数 在点 P0(x0, y0)不连续, 称P0为函数 间断点. 若在D内某些孤立点, 没有定义, 或沿D内某些曲线, 但在D内其余部分, 都有定义, 则在这些孤立点或这些曲线 上, 即间断点. 函数 都是函数 则 在单位圆 处处是间断点. 多元函数的基本概念 函数 (0,0)点是该函数的间断点. 函数 称为多元初等函数, 多元函数的基本概念 积、商（分母不为零）及复合仍是连续的. 同一元函数一样, 多元函数的和、差、 每个自变量的基本初等函数经有限次四则 运算和有限次复合, 由一个式子表达的函数 处均连续. 在它们的定义域的内点 有界闭区域上连续的多元函数的性质 至少取得它的最大值和最小值各一次． 介于这两值之间的任何值至少一次． (1) 最大值和最小值定理 (2) 介值定理 多元函数的基本概念 在有界闭区域D上的多元连续函数, 在D上 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果 在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得 提示 解 多元函数的基本概念 是否把极限 理解为: 先求 的极限, 再求 的极限; 或者 先求 的极限, 再求 的极限 研究 二次极限 有 有 (2) 同理: (3)再来分析当点(x, y)沿过原点的直线 因此 不存在. 多元函数的基本概念 对任意的 有 趋向于 有 时, 可证明当 f( x, y)在P0(x0, y0)的一个邻域上 第二, 一般也是不相同的; 第三, 由此看出: 第一, 不能理解为 多元函数的基本概念 连续时, 上述三个极限均相等. 或 求 答: 0 答:不存在. 答:不存在. 二次极限都不存在时,但二重极限也可能 注 多元函数的基本概念 存在. 二次极限与二重极限有本质的区别. 五、小结 多元函数的极限 多元函数连续性 有界闭区域上连续多元函数的性质 (与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异) 多元函数的概念 多元函数的基本概念 预备知识 (内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域) 思考题 思考题解答 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取 * 第一节 多元函数的基本概念 预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业 function of many variables 一、预备知识 1. 平面点集 n 维空间 一元函数 平面点集 n 维空间 实数组(x, y)的全体, 即 建立了坐标系的平面称为坐标面. 坐标面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为 平面点集, 记作 (1) 平面点集 二元有序 多元函数的基本概念 邻域 (Neighborhood) 设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 几何表示： O x y . P0 多元函数的基本概念