多元函数的基本概念.pdf
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第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集
二、多元函数的概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
一、平面点集 n维空间
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 (x , y ) 之间是
一一对应的。
R 2 R =×R {(x , y ) | x , y =∈R } 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集,称为平面点集,记作
E {(x , y ) | (x , y )具有性质P }
(1)邻域
( , P )x y
设 是xoy 平面上的一个点,δ是某
0 0 0
( , P )x y 距离小于 的点
一正数,与点 δ ( ,P )x y
0 0 0
的全体,称为点P 的δ邻域,记为( ,U)P δ ,
0 0
( ,U)P δ { } δ
0 P| PP| 0 δ •P
0
{ 2 2 }
( , ) | ( x y ) x( x )− y .+y − 0 0 δ
(2 )区域
设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的
一个点.如果存在点 P 的某一邻域U P (E ) ⊂ ,
则称P E 为 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点,
则称 E 为开集. •P
E x y x +{(y , )1 2 2 4}
例如, 1
E
即为开集.
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点,
也有不属于 E 的点(点P 本身可以属于 E ,也
可以不属于 E ),则称P E 为 的边界点.
E 的边界点的全体称为 E 的边界. •P
设 D 是开集.如果对于 D 内
任何两点,都可用折线连结起来,
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