多元函数基本概念.pptx

第一节多元函数的基本概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结思考题

一、多元函数的概念邻域

（2）区域例如，即为开集．

连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，

有界闭区域；无界开区域．例如，

（3）n维空间?n维空间的记号为说明：?n维空间中两点间距离公式设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxxL的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxxL称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.

?n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：设两点为

二元函数的定义域类似地可定义三元及三元以上函数．二元函数的定义

例1求的定义域．解所求定义域为

（如下页图）二元函数的图形

二元函数的图形通常是一张曲面.

例如,图形如右图.例如,图型是球面.单值分支:

二、二元函数的极限

说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．注意：当P以不同的方式趋于P0点时，函数值趋于不同的值，则可断定P趋于P0时极限不存在。

确定极限不存在的方法：

例2求证证

二元函数与一元函数求极限的方法类似。

练习证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．

三、二元函数的连续性定义3

例6讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．

二元函数在其定义域区域内也是连续函数。二元初等函数定义可以用一个式子表示的二元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算而成的。一切二元初等函数在其定义域区域内连续。定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．010302

例8解

闭区域上连续函数的性质最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．

01多元函数极限的概念03闭区域上连续函数的性质02多元函数连续的概念05多元函数的定义04（注意趋近方式的任意性）四、小结

思考题

思考题解答不能.例取但是不存在.因为，取

练习题

练习题答案

不存在.观察

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.

观察不存在.