多元函数的基本概念.ppt
一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结第一节多元函数的基本概念一、多元函数的概念邻域(2)区域例如,即为开集.连通的开集称为区域或开区域.例如,例如,有界闭区域;无界开区域.例如,内点是聚点;例说明:边界点是聚点;(0,0)既是边界点也是聚点.(3)聚点01点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.02例如,03(0,0)是聚点但不属于集合.04例如,05边界上的点都是聚点也都属于集合.说明:n维空间n维空间的记号为n维空间中两点间距离公式3.n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时,便为数轴、平面、空间两点间的距离.内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义.邻域:设两点为01二元函数的定义02类似地可定义三元及三元以上函数.例1求的定义域.解所求定义域为01例2设02求03解多元函数也有单值性与多值性的概念.例如:单值分支一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用,但有界性的定义仍适用:设有n元函数y=f(x),其定义域为D?Rn,集合X?D.若存在正数M,使对?x?X,有|f(x)|?M,则称f(x)在X上有界,M称为f(x)在X上的一个界.1二元函数的图形2(如下页图)二元函数的图形通常是一张曲面.例如,01图形如右图.02例如,03左图球面.04单值分支:05例3、已知求.例4、已知求.二元函数也有复合函数二、多元函数的极限(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.(1)定义中的方式是任意的;说明:(2)二元函数的极限也叫二重极限例2求证证当时,原结论成立.其中03解02例3求极限01例4设证明不存在.解取其值随k的不同而变化,极限不存在.例5证明不存在.证取其值随k的不同而变化,故极限不存在.确定极限不存在的方法:找两种不同趋近方式,使二重极限存在,但两者不相等;令p(x,y)沿某一定曲线趋向于时,极限不存在.