多元函数的基本概念.ppt

一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性四、小结第一节多元函数的基本概念一、多元函数的概念邻域（2）区域例如，即为开集．连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，有界闭区域；无界开区域．例如，内点是聚点；例说明：边界点是聚点；(0,0)既是边界点也是聚点．（3）聚点01点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．02例如,03(0,0)是聚点但不属于集合．04例如,05边界上的点都是聚点也都属于集合．说明：n维空间n维空间的记号为n维空间中两点间距离公式3.n维空间中邻域、区域等概念特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为01二元函数的定义02类似地可定义三元及三元以上函数．例1求的定义域．解所求定义域为01例2设02求03解多元函数也有单值性与多值性的概念.例如：单值分支一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但有界性的定义仍适用：设有n元函数y=f(x)，其定义域为D?Rn，集合X?D.若存在正数M，使对?x?X，有|f(x)|?M，则称f(x)在X上有界，M称为f(x)在X上的一个界.1二元函数的图形2（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,01图形如右图.02例如,03左图球面.04单值分支:05例3、已知求.例4、已知求.二元函数也有复合函数二、多元函数的极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（1）定义中的方式是任意的；说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限例2求证证当时，原结论成立．其中03解02例3求极限01例4设证明不存在．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．例5证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法:找两种不同趋近方式,使二重极限存在,但两者不相等;令p(x,y)沿某一定曲线趋向于时,极限不存在.