同济版高等数学上册复习资料71632.pptx

高等数学(上)总复习第一部分复习的重点及题型分析第二部分高等数学(上)方法综述.第一部分复习的重点及题型分析复习重点三个基本计算—极限,导数,积分两个基本应用—导数应用,积分应用一个基本理论—有关中值的定理及应用.一.三个基本计算(约70%)1.极限的计算(约24%)主要题型(1)利用基本方法求极限函数的连续性;四则运算法则;极限存在准则;两个重要极限;等价无穷小替换;洛必塔法则.(2)利用特殊方法求极限导数定义;定积分定义;微分中值定理;变限积分求导;讨论左右极限.(3)无穷小量的比较.例题分析例1.计算解:例2.设f(x)处处连续,且f(2)=3,计算解:利用等价关系.例3.计算解:化为指数形式,利用例4.计算解:.例5.计算解:令例6.计算解:令.例7.计算利用等价无穷小解:例8.计算解:.例9.求解:令则洛原式=例10.计算直接用洛必塔法则不方便解:利用等价无穷小.例11.计算解:利用微分中值定理这是积分变量例12.计算洛解:.例13.求洛利用等价无穷小原式=解:.例14.已知求a,b.解:对所给等式左边用洛必塔法则,得再利用可知.2.导数和微分的计算(约18%)主要题型(1)计算复合函数的导数和微分;(2)计算隐函数的导数和微分;(包括对数微分法)(3)参数方程求一阶、二阶导数;(4)用导数定义求特殊点的导数值;(5)计算n阶导数.例题分析.例1.已知解法1.等式两边对x求导,得故解法2.等式两边取对数,得两边对x求导,得故.例2.已知解：两边取对数，得两边对x求导.例3.证明下述函数在x=0连续且可导证:因为又在x=0连续且可导.是否有同样的思考:若函数改为结论?.例4.已知,求解:.例5.设解:.例6.设解:.求例7.设解:.例8.求的n阶导数.解:方法1.利用归纳法可证方法2.利用莱布尼兹求导公式.例9.设求解:.3.不定积分与定积分的计算(约28%)主要题型(1)利用基本积分方法计算不定积分;(2)利用基本积分方法及公式计算定积分;(3)利用简化技巧计算积分;(4)广义积分的计算及收敛性判别.例题分析.例1.求令解:例2.求令解:.例3.求原式=解:.发散例4.求解:例5.讨论积分的敛散性.解:可见原积分发散..奇函数偶函数例6.求得解:利用“偶倍奇零”,求例7.已知解:对所给等式两边求导,得.,求例8.设(P266题10)则解:令.例9.已知求解:由已知条件得.例10.求解:利用P245例6(2),即.例11.利用递推公式计算下列广义积分(P256题3)解:.二.两个基本应用(约24%)1.导数的应用(约16%)主要题型(1)导数的几何应用(2)利用导数研究函数形态(3)求解最值问题(4)利用导数证明恒等式(5)利用单调性证明不等式.例题分析例1.设函数在定义域内可导,则导函数的图形如右图所示,的图形为.(2001考研)提示:在某区间I内可导,则在I内的极值点是.例2.证明在上单调增加.(L.P95例4)证:得令在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,故当x0时,从而在上单调增..例3.证明当x0时,则证法1:设故得证法2:当x0时,在[x,x+1]上利用拉氏中值定理,.例4.证明:（P130例1）证:即.例5.证明当证:归结为证即说明:若改为证明当x1时,如何证明?提示:证明f(0)是f(x)在(–?,1)上的最大值.在(0,1)上不好判别正负号.设例5.且证:设①②比较①,②可知,故不等式成立..例6.讨论方程(P151题5)有几个实根.解:设令得(最大值)注意因此当时,有两个根;当只有一个根；时,当时,无实根..例7.求双曲线的曲率半径R,并分析何处R最小?则解:利用例8.求内接于半径为R的球内的正圆锥体的最大体积.解:设锥体的底半径为r,高为h,如图因△ADB∽△BDE,所以圆锥体体积为极大值点故为最大在(0,2R)内只有唯一驻点,且为极大值点,值点,最大值为.2.定积分的应用(约8%)主要题型(1)利用定积分计算面积(2)利用定积分计算弧长及旋转体体积直角坐标方