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高等数学 (A) 上复习资料 极限与连续 1. 函数、数列极限及其性质： （1）极限定义 （2 ）数列或函数有极限时具有极限唯一性、 （局部）有界性、保序保号性， 其中最常考察的是极限的保序、保号性。 2. 无穷小的阶：次数高阶就高。处理无穷小的一般方法 （1）等价替换 （乘除法可直接替换，加减法在阶不变化的条件下也可替换） ； （2）Taylor 公式（应当熟练掌握各初等函数的 Taylor 公式）； （3）无穷小的计算规律（例如无穷小与有界量的乘积是无穷小） 。 【例1】设 f (x) 2x 3x 2 ，则当 x 0 时，有【 B 】。（06 秋考题） （A） f (x) 与 x 是等价无穷小； （B） f (x) 与 x 同阶但非等价无穷小； （C） f (x) 是比 x 高阶的无穷小； （D） f ( x) 是比 x 低阶的无穷小。 解析： 答案为 （B），因为 2x 1 ln 2,3x 1 ln 2 x 0 x x （ ），于是 x x f (x ) 2 3 2 x ln6, x 0 。 【例2 】当 x 0 时，下列四个无穷小中，哪一个是比其它三个更高阶的无 穷小量【 C 】。 （A） 2 x tan x ln(1 x ) ； （B） ； 2 （C）2x3 ； （D）ex 1 。 解析：答案为（ C），其它三个的阶都是 2，理由如下 2 2 2 2 x 2 ln(1 x ) x , x tan x x ,e 1 x (x 0) 。 2 x 【例3 】设 f (x) sin tdt ， g(x ) x3 x4 ，则当 x 0 时， f (x) 是 g (x) 的 0 【 A 】。 （A）高阶无穷小； （B）同阶但非等价无穷小； （C）等价无穷小； （D）低阶无穷小。 解析： 答案为 （A），因为当 x 0 时 2 4 x 2 x 3 4 3 f (x ) sin tdt 1 cos(x ) ， g (x ) x x x 。 0 2 3. 极限的存在准则，两个重要极限 （1）正确理解极限的存在准则，如夹逼性、单调有界收敛定理等； （2 ）利用