《线性代数试卷》期末考试试卷.docx
《线性代数试卷》
（考试时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（10小题，每题3分，共30分）
1.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则AB的行列式（）
A.一定存在
B.不一定存在
C.一定不存在
D.与m、n的大小关系有关
2.设A为n阶可逆矩阵，则A的伴随矩阵的行列式等于（）
A.|A|
B.|A|^2
C.|A|的倒数
D.|A|的相反数
3.设A为n阶矩阵，若A^2=A，则A（）
A.一定可逆
B.一定不可逆
C.可逆当且仅当n为奇数
D.可逆当且仅当n为偶数
4.设A为n阶矩阵，若A的特征值全为0，则A（）
A.一定可逆
B.一定不可逆
C.可逆当且仅当n为奇数
D.可逆当且仅当n为偶数
5.设A为n阶矩阵，λ为A的特征值，则λ^2为A^2的特征值（）
A.一定成立
B.一定不成立
C.当且仅当λ≠0时成立
D.当且仅当λ=0时成立
6.设A为n阶矩阵，若A的秩为r，则A的行列式（）
A.一定等于0
B.一定不等于0
C.当且仅当r=n时等于0
D.当且仅当rn时等于0
7.设A为n阶矩阵，若A的特征多项式为f(λ)，则f(0)等于（）
A.|A|
B.|A|
C.A的迹
D.A的迹
8.设A为n阶矩阵，若A可对角化，则A的Jordan标准形（）
A.唯一
B.不唯一
C.当且仅当A的特征值全不相同时唯一
D.当且仅当A的特征值全相同时唯一
9.设A为n阶矩阵，若A的特征值全为正数，则A的行列式（）
A.一定为正数
B.一定为负数
C.一定为0
D.不能确定符号
10.设A为n阶矩阵，若A^2=I（I为单位矩阵），则A（）
A.一定可对角化
B.一定不可对角化
C.可对角化当且仅当n为偶数
D.可对角化当且仅当n为奇数
二、填空题（5小题，每题4分，共20分）
11.设A为3阶矩阵，且A^2=0，则A的秩为______。
12.设A为n阶矩阵，且A^2=A，则A的特征值只能为______或______。
13.设A为n阶矩阵，且A+A^T=0，则A的秩为______。
14.设A为n阶矩阵，且A^3=I（I为单位矩阵），则A的特征值只能为______。
15.设A为n阶矩阵，且A可对角化，则A的Jordan标准形的对角线元素为______。
三、计算题（3小题，每题10分，共30分）
16.设A为3阶矩阵，且A=PBP^(1)，其中
B=\begin{pmatrix}
200\\
031\\
003
\end{pmatrix}，P=\begin{pmatrix}
123\\
014\\
001
\end{pmatrix}，求A。
17.设A为4阶矩阵，且A^2=0，求A的秩。
18.设A为n阶矩阵，且A^2=A，证明：A的特征值只能为0或1。
四、证明题（2小题，每题10分，共20分）
19.设A为n阶矩阵，证明：若A的特征值全为正数，则A的行列式为正数。
20.设A为n
8.设A为n阶矩阵，若A的特征值全为0，则A的行列式等于（）
A.一定等于0
B.一定不等于0
C.当且仅当n为奇数时等于0
D.当且仅当n为偶数时等于0
9.设A为n阶矩阵，若A的秩为r，则A的行列式等于（）
A.一定等于0
B.一定不等于0
C.当且仅当r=n时等于0
D.当且仅当rn时等于0
10.设A为n阶矩阵，若A的特征多项式为f()，则f(0)等于（）
A.A
B.A
C.A的迹
D.A的迹
11.设A为n阶矩阵，若A可对角化，则A的Jordan标准形的对角线元素为（）
A.A的特征值
B.A的迹
C.A的行列式
D.A的秩
12.设A为n阶矩阵，若A20，则A的秩为（）
A.一定等于0
B.一定等于n
C.当且仅当n为奇数时等于0
D.当且仅当n为偶数时等于0
13.设A为n阶矩阵，若A2A，则A的特征值只能为（）
A.0或1
B.0或1
C.1或1
D.0或n
14.设A为n阶矩阵，若A的特征值全为正数，则A的行列式为（）
A.一定为正数
B.一定为负数
C.当且仅当n为奇数时为正数
D.当且仅当n为偶数时为正数
15.设A为n阶矩阵，若A可对角化，则A的Jordan标准形的对角线元素为（）
A.A的特征值
B.A的迹
C.A的行列式
D.A的秩
16.设A为3阶矩阵，且APBP(1)，其中
Bbeginpmatrix
200
031
00