《线性代数期末考试重点》.doc
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《线性代数》的主要知识点
第一部分
行列式
概念：
n阶行列式展开式的特点：①共有n!项，正负各半；
②每项有n个元素相乘，且覆盖所有的行与列；
③每一项的符号为
元素的余子式以及代数余子式
行列式的性质
计算方法：
对角线法则
行列式的按行（列）展开 (另有异乘变零定理)
第二部分 矩阵
矩阵的乘积
注意：①不满足交换率（一般情况下）
②不满足消去率 （由AB=AC不能得出B=C）
③由AB=0不能得出A=0或B=0
④若AB=BA，则称A 与B是可换矩阵
2．矩阵的转置
满足的法则：，
3．矩阵的多项式 设，A为n阶方阵，则
称为A 的n次多项式。
对与对角矩阵有关的多项式有结论如下：
（1）如果 ，则
=
（2）若，则
4．逆矩阵：阶矩阵A,，若，则A,B互为逆矩阵。
n 阶矩阵A可逆；
（或表示为）即A为满秩矩阵；
A与E等价；
A可以表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的列（行）向量组线性无关；
A的所有的特征值均不等于零
求法：①伴随矩阵法：
②初等变换法：或， E是单位矩阵
性质：（1）矩阵可逆，则的逆矩阵是唯一的
（2）设是阶矩阵，则有下列结论 ①若可逆，则也可逆，且
②若可逆，则也可逆，且
③若可逆，数，则可逆，且
④若为同阶矩阵且均可逆，则也可逆，且
5．方阵A的行列式：
满足下述运算规律（设为阶方阵，为数）
① ② ③
6．伴随矩阵：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵
，称为矩阵的伴随矩阵（注意行与列的标记的不同）
伴随矩阵具有性质：
常见的公式有：① ②③ ④等
7．初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。
三种初等变换对应着三种初等矩阵，分别记为：
（1）（互换E的第、列）
（2）（E的第行乘以不为零的数）
（3）（把E的行的倍加到第行上）
初等矩阵具有下述性质：初等矩阵的转置仍为初等矩阵；初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵仍为初等矩阵且、、；
初等矩阵的行列式分别是 -1，k, 1。
8．矩阵的初等变换：初等行变换: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
对调两行； 记为 对换第行
以数乘某一行中的所有元素； 记为 第行乘
把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去；记为 第行倍加到第行上。把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义.
矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵初等变换
矩阵的初等变换与初等矩阵的关系：设A是一个矩阵，则
对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的 阶初等矩阵；
对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 阶初等矩阵
9．矩阵的等价：如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。
且若矩阵经过有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价；
若仅经过初等列变换，就称A与B列等价。
设为矩阵
①与行等价阶可逆矩阵，使得
②与列等价阶可逆矩阵，使得
③等价阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，使得
利用矩阵的初等变换解矩阵方程
，，可以：
，，可以： ，从而解出X。
10．矩阵的秩：非零子式的最高阶数。记为
求法：A行阶梯形矩阵B，=B的非零行的行数。
相关公式：①若A是矩阵，则
② ③=
④若设为矩阵， 均为可逆矩阵，则
⑤，则
⑥若均为矩阵，则
⑦ ⑧若 ，则
11．分块矩阵：主要记住：
（1）分块对角矩阵：设为阶方程，若的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，
其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方块，即
其行列式与逆矩阵具有下述性质：
①
②若，则，故可逆，并有:
③设是阶方阵, 是阶方阵,,且,则
另有：（2）设有分块矩阵，其中分别为阶、阶可逆矩阵，则矩阵可逆且
（3）设有分块矩阵，其中分别为阶、阶可逆矩阵，则
矩阵可逆且
第三部分 向量组
线性组合：给定向量组A：，对于任意一组实数，称向量
为向量组的一个线性组合，称为该线性组合的系数。
给定向量组A：和向量，如果存在一组数，使得
=
则向量是向量组A的线性组合，也称向量可以由向量组A线性表示
向量能由向量组A线性表示方程组 有解
矩阵A=（）的秩等于矩阵B=(，)的秩
2．等价：设有两个向量组A：及B：，若B中的每个向量都可
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