一、 矩阵的初等变换课件.ppt

一、矩阵的初等变换 定义1 对m×n矩阵施以以下变换均称为矩阵的初等变换： 例如 矩阵等价关系满足以下性质： (1) 反身性 A→A； (2) 对称性 若A→B，则B→A； (3) 传递性 若A→B，B→C，则A→C. 定义3 行阶梯形和行最简形 例1 将矩阵 化为行阶梯形、行最简形、标准形. 解 化矩阵A 为行阶梯形和行最简形, 解 二、初等矩阵 定义4 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初 等矩阵. 定理2 设A是m×n的矩阵，(1) 对A作一次初等行变换所得到的矩阵，等于在A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；(2) 对A作一次初等列变换所得到的矩阵，等于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵. 例2 一、 矩阵的初等变换 二、 初等矩阵 第2.3节 矩阵的初等变换与初等矩阵 (2) 以非零数k乘某行(列)的元素，记作 (3) 把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作 (1) 互换矩阵任意两行(列)，记作 初等行(列)变换统称初等变换. 定义2 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，称矩阵A, B等价, 记作A→B. 利用初等变换可以化简矩阵： 标准形矩阵 行最简形矩阵 行阶梯形矩阵 经初等列变换 行阶梯形矩阵: (1)元素全为零的行均位于矩阵的最下方； (2)自上而下每个非零行的第一个非零元的列标严格增大. 定理1 (1) 任意矩阵都可经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵；(2) 任意矩阵都可经过若干次初等变换化为标准形矩阵. 行最简形矩阵: 每个非零行的第一个非零元都是1，且其所在列的其余元素均为0. 标准形矩阵: 每个非零行的第一个非零元都是1，且其所在行与列的其余元素都为0. 行阶梯形 行最简形 再对矩阵A2施行初等列变换，得 标准形 课堂练习 三种初等变换对应着三种初等矩阵，以初等行变换为例予以说明. (1) 互换E的i、j两行, 记为E(i, j). 例如 j行 i行 1.定义 (2) E的第i行乘以不等于零的数k，得 (3) 把E的第j行的k倍加到第i行上，得 例如 例如 i行 j行 i行 注 对单位矩阵施行初等列变换，得到相应的初等矩阵. 例如 2.初等矩阵与初等变换的关系 解 用初等矩阵表示上述过程，即为 将矩阵A化行最简形的过程用矩阵乘法表示，