(近代概率论基础第四章作业解答参考.doc

第四章作业题解答参考 4．解：（1）按照示性函数的定义，示性函数为一随机变量且对任意的事件，有 。 因此 ，， ，， 故对任意的，有 （2）由（1）可知 注意到和，对上 式取数学期望可知：。 （3）用记“五个队中至少有一个对全胜”，用记“五个队中至少有一个对全败”， 则要求的概率为： 。 5．解：设，其中，则 ， 由试验独立得诸相互独立，由此得 。 8．解：， 。 9、证： 。 10、证： 由期望存在得，故 ， 以此代入的计算式即得 。 特别地，如果只取非负值，则当时，有，故。 另证：因为对任意的，有 故 注：第2个等号用到期望和积分交换次序，这是根据Fubini定理。 13．证：的联合密度为， ∴ （利用密度函数的积分值为1，减a再加a） （在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号） . 另证：设 ，则 。 而和的分布函数均为：，又因为相互独立，故的分布函数应为：，于是 。 14．解：设的分布函数为，根据数学期望的定义，注意到的单调非降性， 可知：对任意的，有 最后由可知结论成立。 15．解：令，由题意知：，而 ，故由数学期望的线性性质可知：，于是结论成立。 16．解：用记袋中的白球数，则。 由全概公式知所求的的概率为 22．解：因 ，， 可设拉格朗日函数为： 利用拉格朗日乘数法可解得： 这即为所求。 24．解：不妨设的密度函数为，则。注意到，于是 (或者： ) 而 因此 。又，于是，故与不相关。 但是，对任意的，有 即与不相互独立。 27．解：不妨设的分布律及联合分布律分别为： ， ； 。 那么 ； 如果不相关，则有，即 。 由上式可解得：于是与相互独立。 43．证明：充分性的证明见课件，下面证明必要性。 用表示“实验次数为的伯努利实验中的成功的次数”；用表示“实验次数为的伯努利实验中的失败的次数”，则 。 （1） 再令 ， ， 则有 ，， 且的母函数分别为：和，其中。 我们设的母函数为，则由(4.4.13)式可知，和的母函数分别为： 和。 这样，由（1）可知，对任意的，有：，于是对任意的，有 这样，类似于引理2.4.1的证明可知：，其中为一常数。最后如果我们令，则有，于是实验次数服从参数为的泊松分布。 44．证明：（1）见课件《母函数》那一节。（2）不做要求。 47．证明：“充分性”：设分布函数的特征函数为，且为实的偶函数。根据逆转公式，设为的连续点，则有 我们让沿着的连续点趋向于，则有，对的一切连续点，有 。 如果不是的连续点，则存在的连续点列，使得，这样对每一个， ， 最后在上式中令，考虑到分布函数的左连续性即得。 “必要性”：设随机变量的分布函数满足，且的特征函数为。由特征函数的定义 的分布函数为 ， 于是的特征函数为 。 而由P226性质6可知： ，于是对任意的，有。 又因为 ， 因此为实的偶函数。 50．解：随机变量的密度函数为 ， 于是和的特征函数均为 而的密度函数为： ， 因此的特征函数为 故 。 但是因为，所以与线性相关，故显然不独立。 注：如何求解上面的两个含有参数的广义积分请查阅数学分析书。 52．解：因为相互独立且服从，因此也相互独立，且的密度函数为：，于是的密度函数为： 即服从自由度为的分布。 而自由度为的分布的特征函数为： 因此的特征函数为：，又因为相互独立，因此的特征函数为： ， 即服从自由度为的分布。 设服从自由度为的分布，服从自由度为的分布，且与相互独立。因为 ，