第四章 概率论与数理统计基础总结.ppt

第四章 概率论与数理统计基础总结 一、随机事件 定义： 在单次试验中不能确定其是否发生，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件 事件的关系及运算 事件的包含与相等 事件的和、积、差 互斥事件 逆事件 概率： 统计定义 在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动。且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数p为事件A的概率，记作P(A) 古典定义 若样本空间Ω包含有n个样本点，A是个随机事件，且A中含有m 个样本点，则事件A发生的概率为P(A)=m/n 几何概型 设随机试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随机点M，且子区域D ? Ω,则M点落入子区域D的概率为 P(A)=m(D)/m(Ω) 其中m(Ω)及m(D)在Ω是区间、平面或空间时分别表示相应的区间长度、平面面积或空间体积 条件概率 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，记作P(A/B) P(A/B)=P(AB)/P(B) —乘法原则 P(AB)=P(A)*P(B/A) P(AB)=P(B)*P(A/B) n重贝努里试验： 在每次试验中某事件A或者发生或者不发生，假设每次试验的结果与其它各次试验结果无关，即每次试验中事件A出现的概率都是p(0p1)。这样的一系列重复试验称为n重贝努里试验 贝努里定理 设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生ｋ次的概率为 = (k=0,1,…n) q=1-p 概率相关习题 二、随机变量及其概率分布 随机变量的两大类 离散型随机变量：若随机变量X的可能取值为有限个或至多可列个，且以确定的概率取这些值，则称X为离散型随机变量 连续型随机变量：若随机变量X的可能取值为若干区间或整个数轴内的全体实数，且取这些值的概率与这些值的测量有关，则称X为连续型随机变量 离散型随机变量 概率函数 概率分布表 分布函数 几种重要离散分布 两点分布（0-1分布） 二项分布 其中0p1,q=1-p,则称X服从二项分布，简记为 --普哇松分布 连续型随机变量 几种重要的连续型随机变量 均匀分布 指数分布 袋中有5球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,用 表示取出的3球中编号最大的号码,试求X的概率分布 某汽车占从上午7时起每15分钟发一般车,即7:00,7:15, …始发,如果乘客在7:00-7:30任一时刻到达车站,试求乘客等候时间不超过5分钟的概率. 三、数学期望和方差 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 离散型随机变量X的方差 若随机变量X的概率分布为 ,则X的方差为 连续型随机变量X的方差 若随机变量X的分布密度函数为 ，则X的方差为： 常用随机变量的期望值和方差 四、正态分布 概率密度函数为 * * 全概率定理与贝叶斯定理 （k=1,2,…n） pn … p2 p1 P xn … X2 x1 X 其它 解: X 的可能取值为3,4,5.只有取出的3球号码分别是1,2,3时(此时只有一种取法),事件{X=3}才会发生,由古典概型: 类似地有 制成表格有: 此即X的概率分布. 解: 若将7:00作为计算时间起点,则乘客到达时刻 服从均匀分布: ,为使等候时间不超过5分钟,当且仅当乘客在7:10到7:15之间或7:25到7:30之间到站,故所球概率为: 指数分布 均匀分布 普哇松分布 npq np 二项分布 p(1-p) p 两点分布 方差 数学期望值 随机变量 例:一台设备有三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件相互独立，以 表示同时需要调整的部件数，求数学期望 和方差 . 解：由 服从“0-1”分布， 得 则 注：利用性质来计算数学期望和方差往往较有效，应该学会这种方法。另外，应记住常用分布相应的数学期望和方差。 分析：先引入新随机变量 ，则 相互独立，再利用