第四章概率论课件ppt.ppt

例. 设随机变量X~N(50,1),Y~N(60,4),且X与Y相互独立，记Z=3X-2Y-10,求Z的概率密度。 ■切比雪夫不等式 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|X-E(X)| }的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大. 设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 0, 定理 例1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 推论 X以概率1取常数，即P(X=E(X))=1 DX=0 作业： P124:21,23,27 §4.3 协方差和相关系数 任意X和Y是两个随机变量，若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 定义 存在，则称其为X和Y的协方差，记为Cov(X,Y)。 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY) -E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y) ■协方差 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ■简单性质 ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y) 第四章 随机变量的数字特征 * 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差和相关系数 §4.1 数学期望 例1：甲乙两人进行射击，射击的环数X、Y的分布律如下，问哪个射手水平较高？ X 8 9 10 Pk 0.1 0.7 0.2 Y 8 9 10 Pk 0.3 0.4 0.3 设X是离散型随机变量，它的分布律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,… 如果 有限,定义X的数学期望 定义 否则称X的数学期望不存在。 ■离散型随机变量的数学期望 例2：某射手连续向一目标射击，直到命中为止，设他每发命中的概率是p，求平均射击次数。 例1：求0-1分布，泊松分布的数学期望。 例3. 设随机变量X的分布律为 求数学期望E(X). 解: 所以X的数学期望不存在。 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果 绝对收敛,则定义X的数学期望为 定义 否则称X的数学期望不存在. ■连续型随机变量的数学期望 例5. 设X~N(μ,σ2)，求E(X). 例4. X~U[a,b],求E(X). 设已知随机变量X的分布，如何计算g(X)的期望呢？ 例1：已知离散型随机变量X的分布列为 求X2的数学期望。 X -2 -1 0 1 2 Pk 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 设X是一个随机变量，Y=g(X)，则 当X为离散型时,P(X= xk)=pk ; 当X为连续型时,X的密度函数为f(x). 注意: 同样需要满足绝对收敛! ■随机变量函数的数学期望 例1. 设一批圆盘的直径X~U(2,4)，求这批圆盘的平均面积。 设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则 二维随机变量函数的数学期望 例1：设（X,Y）联合概率分布为： 求E(X+Y),E(XY) X Y 1 0 1 2 3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.2 0.1 例2. 设随机变量X，Y相互独立，且均服从N( 0 , 1 )，求 。 例3. 设X,Y独立且均服从[0,1]上的均匀分布， 求E(|X-Y|), Emin(X,Y). 1. 设a,b是常数，则E(aX+b)=aE(X)+b; 2. E(X+Y) = E(X)+E(Y); ■数学期望的性质 3. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 例1：设X~B(n,p),求E(X). 例2：设送客汽车载有m位旅客，自始发站开出，旅客有n 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车。设每位旅客在各站下车是等可能的，求平均停车次数。 作业： P123:17,18,24,25,26 §4.2 方差 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图： 甲仪器测量结果 乙仪器测量结果 为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度. 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 采用平方是为了保证一切 差