《概率论与数理统计》课件 孟祥波 第四章 随机变量的数字特征.pptx
与
数理统计
理学院数学系
概率论与数理统计电子课件
概率论
“悟道诗--严加安”
随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离.
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随机非随
意概率破
玄机无序隐有序疏
i计能迷离
倍成冰
星美等气武
第四章
随机变量的数字特征
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第一节数学期望
一、随机变量的数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
四、小结
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一、随机变量的数学期望
定义1:设离散型随机变量X的分布律是
p(x;),i,=1,2,...
若Z|x,|p(x;)+00,则称
i
为离散型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，
记为E(X).
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例1:随机变量X~B(n,p),求E(X).
解：因为X~B(n,p),故其概率函数为
P,(k)=Cp(1-p)“,k=0,1,2,….,n
于是按照数学期望的定义有
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例2:随机变量X~P(A),a0,求E(X).
解：),故其概率函数为
,k=0,1,2,...
于是按照数学期望的定义有
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=Ze-^e^=λ
为连续型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，
记为E(X).
定义2:设连续型随机变量X的概率密度是f(x)
若则称
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例3:随机变量X~U(a,b),求E(X).
解：因为X~U(a,b),故其概率密度为
a其它
于是按照数学期望的定义有
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例4:随机变量X~e(a),a0,求E(X).
解：因为X~e(a),故其概率密度为
于是按照数学期望的定义有
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例5:随机变量X~N(u,o²),σ0,求E(X).
解：因为X~N(μ,o²),故其概率密度为
=0+μ=μ
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于
例6:随机变量服从柯西(Cauchy)分布，概率密
度为
求其数学期望E(X).
解：因为
故其数学期望不存在.
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二、随机变量函数的数学期望
随机变量的函数依然是随机变量，故随机变量函数的数学期望一般可以通过求得其概率分布再进行数学期望求解.但是这种方法一般比较繁琐，况且有时我们并不想知道随机变量函数的具体分布，这时我们将利用如下定理直接计算随机变量函数的数学期望.
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p(x;),i=1,2,.…则Y的数学期望为
E(Y)=E[g(X)]=∑g(x;)p(x;)
(2)若X是连续型随机变量，其概率密度为
f(x),则Y的数学期望为
定理1:设X为一随机变量，Y=g(X)且E(Y)存
在，则
(1)若X是离散型随机变量，其概率函数为
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X
-1
0
1
2
P
0.2
0.1
0.3
0.4
故其数学期望
E(Y)=(-1)×0.3+0×0.5+3×0.2=0.3.
求随机变量Y=X²-2X的数学期望.
解：方法一：易求得Y的概率分布为
例7:设随机变量的概率分布如下
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0
3
X
-1
0
1
2
P
0.2
0.1
0.3
0.4
求随机变量Y=X²-2X的数学期望.
解：方法二：按照公式Y的数学期望
例7:设随机变量的概率分布如下
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=0.3.
例8:设随机变量X~U(0,π),求E(sinX)及
E[X-E(x)]².
解：因为X~U(0,π),其概率密度为
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故
例8:设随机变量X~U(0,π),求E(sinX)及
E[X-E(x)]².
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例9:国际市场每年对我国某种出口商品的需求量
是随机变量X(吨),其服从区间[2000,4000]上的均匀分布，每售出一吨该商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出去，则每吨商品需要贮存费1万元.问该商品应出口多少吨才能使国家的平均收益最大?
解：设该商品应出口t吨，显然2000≤t≤4000.
国家收益Y(单位：万元)是需求量X的函数，记为Y=g(X),故有
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例9:
解：