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概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考 答案.pdf

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第四章 大数定律与中心极限定理 习题 4.1 P P 1. 如果X n →X ,且X n →Y .试证:P {X = Y } = 1. 证:因 |X −Y | = | −(Xn −X ) + (Xn −Y )| ≤ | Xn −X | + |Xn −Y |,对任意的ε 0 ,有 ⎧ ε⎫ ⎧ ε⎫ P X Y ε P X X P X Y , + − ≥ 0 ≤ {| − | ≥ } ≤ | − | ≥ ⎨| | ⎬ ⎨ n ⎬ n ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ P P ⎧ ε⎫ ⎧ ε⎫ 又因X n →X ,且X n →Y ,有 lim P ⎨| X n −X | ≥ ⎬ 0 , lim P ⎨| X n −Y | ≥ ⎬ 0 , n→+∞ ⎩ 2 ⎭ n→+∞ ⎩ 2 ⎭ 1 ⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫ 则 P {|X −Y | ≥ε} = 0,取ε ,有P ⎨| X −Y | ≥ ⎬ 0 ,即P ⎨| X −Y | ⎬ 1, k ⎩ k ⎭ ⎩ k ⎭ ⎧+∞ ⎧ 1⎫⎫ ⎧ 1⎫ 故 − − . P X Y P X Y P X Y { } ⎨I⎨| | ⎬⎬ lim ⎨| | ⎬ 1 k 1 ⎩ k ⎭ k →+∞ ⎩ k ⎭ ⎩ ⎭ P P 2 . 如果X →X ,Y →Y .试证: n n P (1)X +Y →X +Y ; n n P (2 )X Y →XY . n n 证:(1)因 | (X + Y ) − (X + Y ) | = | (X −X ) + (Y −Y )| ≤ | X −X | + | Y −Y |,对
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