概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考 答案.pdf
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第四章 大数定律与中心极限定理
习题 4.1
P P
1. 如果X n →X ,且X n →Y .试证:P {X = Y } = 1.
证:因 |X −Y | = | −(Xn −X ) + (Xn −Y )| ≤ | Xn −X | + |Xn −Y |,对任意的ε 0 ,有
⎧ ε⎫ ⎧ ε⎫
P X Y ε P X X P X Y ,
+ − ≥
0 ≤ {| − | ≥ } ≤ | − | ≥ ⎨| | ⎬
⎨ n ⎬ n
⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭
P P
⎧ ε⎫ ⎧ ε⎫
又因X n →X ,且X n →Y ,有 lim P ⎨| X n −X | ≥ ⎬ 0 , lim P ⎨| X n −Y | ≥ ⎬ 0 ,
n→+∞ ⎩ 2 ⎭ n→+∞ ⎩ 2 ⎭
1 ⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫
则 P {|X −Y | ≥ε} = 0,取ε ,有P ⎨| X −Y | ≥ ⎬ 0 ,即P ⎨| X −Y | ⎬ 1,
k ⎩ k ⎭ ⎩ k ⎭
⎧+∞ ⎧ 1⎫⎫ ⎧ 1⎫
故 − − .
P X Y P X Y P X Y
{ } ⎨I⎨| | ⎬⎬ lim ⎨| | ⎬ 1
k 1 ⎩ k ⎭ k →+∞ ⎩ k ⎭
⎩ ⎭
P P
2 . 如果X →X ,Y →Y .试证:
n n
P
(1)X +Y →X +Y ;
n n
P
(2 )X Y →XY .
n n
证:(1)因 | (X + Y ) − (X + Y ) | = | (X −X ) + (Y −Y )| ≤ | X −X | + | Y −Y |,对
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