2014届高考数学一轮必备考情分析学案11.3《二项式定理》.doc

11.3二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(nN*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的系数C(r＝0,1，…，n)叫二项式系数． 式中的Can－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Can－rbr. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C，C，一直到C，C. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C＝C. (2)增减性与最大值： 二项式系数C，当k＜时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值； 当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值． (3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Can－rbr，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a， b有关，可正可负． 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等． (1)对称性； (2)增减性； (3)各项二项式系数的和； 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结． 【例1】已知(3－)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是(　　) A. －24　　 B. 24 C. －252　　 D. 252 答案：D 解析：令x＝1可得各项系数之和为2n＝256，则n＝8，故展开式中第7项的系数为C×32×(－1)6＝252. 【1】若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________． 解析　二项式6展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx6－r(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca＝60，解得a＝4.答案　4 二　二项式定理中的赋值 【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　) A. 180　　 B. 90 C. －5　　 D. 5答案：A 解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：Tr＋1＝C210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数． 所以a8＝C22(－1)8＝180.故选A. 【2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1. 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37. (1)∵a0＝C＝1，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(－)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094. (3)(＋)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3， a5，a7小于零， |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 三　二项式的和与积 【例3】二项式(＋x)(1－)4的展开式中x的系数是________． 答案：3 解析：利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有·(－)4和x·14，求和后可得3x，即展开式中x的系数为3. 【3】x7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)． 解析　原问题等价于求7的展开式中x3的系数，7的通项Tr＋1＝Cx7－rr＝(－2)rCx7－2r，令7－2r＝3得r＝2，x3的系数为(－2)2C＝84，即x7的展开式中x4的系数为84. 答案　84 【例】已知(1－2x)7＝