北京大学《高等数学》附件5.6.pdf

医学部学生会整理 习题 6.1 1.确定下列函数的定义域并且画出定义域的的图形: (1)z (x 2 y 2 2x )1/ 2 ln(4 x 2 y 2 ); x 2 y 2 2x 0, x 2 y 2 4. 2 2 1 2 2 (2)z (x y ) ; x y . (3)z ln(y x 2 ) ln(1y ); y x 2 0, y 1. x y (4)z arcsin arccos (a 0,b 0);| x |a,| y |b. a b (5)z 1x 2 y 2 ln(x y ); x 2 y 2 1,x y 0. (6)z arcsin(x 2 y 2 )  xy .x 2 y 2 1, xy 0. 1(1) 1(2) 1(3) 1(4) 1(5) 1(6) 2.指出下列集合中哪些集合在中是开集,哪些是区域?哪些是有界区域?哪些 是有界闭区域? (1)E1 {(x, y ) | x 0, y 0}; 开集,区域. (2)E2 {(x, y ) || x |1,| y 1|2}; 开集,区域,有界区域. 2 2 (3)E3 {(x, y ) | y x , x y }; 有界闭区域. 1 (4)E4 {(x, y ) | y sin 且x 0}.区域,边界点集合 x 1 E4 {(x，sin ) | x 0}{(0,y ) | 1y 1}. x 2(1) 2(2) 医学部学生会整理 2(3) 2(4) n 3.设E R , E为E的边界点集合试证明. E E E是一个闭集. 证设 P E ,则 P E且 P E .于是存在r 0, 使得U (P )不含E的点,从而不含E的点. 0 0 0 r 0 否则,存在Q U (P ) E, Q作为E的边界点,存在 U (Q) U (P ),U (Q)含E的点,于是 r 0  r 0  U ( P )含E的点,矛盾.因此,U ( P )不含E E E的点,P不是E的的边界点这表明. E的 r 0 r 0 0 边界点全属于E.故E是闭集合. 2 n 4.像在 R 中一样, 我们把R 中的点(x , , x )同时也视作一个向量,并定义两个向量 1 n  (x , , x )及 (y , , y )的加法运算 1 n 1 n