北京大学《高等数学》附件5.4.pdf

医学部学生会整理 18.设函数f (x )在(, )内可导,且a ,b 是方程f (x ) 0的两个实根证明方程. f (x ) f (x ) 0在(a ,b )内至少有一个实根. x 证设 g(x)=e f (x ),g (a ) g (b ) 0,g 在 [a ,b ]连续, 在(a ,b )可导),.  x   根据Rolle定理, 存在 c (a,b),使得g (x) e ( f (x) f (x)) 0,即f (x) f (x) 0. 19.决定常数A的范围,使方程3x 4 8x3 6x 2 24x A有四个不相等的实根. 4 3 2  3 2 解P (x ) 3x 8x 6x 24x, P (x ) 12x 24x 12x 24 12(x 3 2x 2 x 2) 12[x 2 (x 2)(x 2)] 12(x 2)(x 2 1) 12(x 2)(x 1)(x 1) 0,. x 1,x 1,x 2.P (x ) 19,P (1) 13,P (2) 8. 1 2 3 1 根据这些数据画图，由图易知当在区间(P (1),P (2)) (13,8)时 3x 4 8x3 6x 2 24x A有四个不相等的实根. 2 3 n x x x 20.设f (x ) 1x   (1)n .证明: 方程f (x ) 0当n 为奇数时有一个 2 3 n 实根,当n为偶数时无实根. 证当x 0时f (x ) 0, 故f 只有正根,当n 2k 1为奇数时,lim f (x ) , x  lim f (x ) , 存在a ,b ,a b , f (a ) 0, f (b ) 0. x  根据连续函数的中间值定理,存在x (a ,b ), 使得f (x ) 0. 0 0  2 2k 2 x 2k 1 1 f (x ) 1x x x 0(x 0), 当x 0时, f 严格单调递减, 故 x 1 实根唯一.  2 2k 1 x 2k 1 当n 2k 为偶数时,f(x) 1x x x 0, x 1. x 1 0 x 1, f (x ) 0, x 1, f (x ) 0, f (1)是x 0时的最小值, f (1) 0, 故当n为偶数 时f (x )无实根 .  