北京大学《高等数学》附件5.5.pdf

医学部学生会整理 第五章总练习题 1.设a,b 为两个非零向量, 指出下列等式成立的充分必要条件: (1) | a + b | | a b |;(2) | a + b | | a | | b |;(3)a + b与a b共线. 2 2 2 2 2 2 解(1) | a + b | | a b || a + b | | a b | | a | | b | 2ab | a | | b | 2ab ab = 0 a, b正交. (2) | a + b | | a | | b || a + b |2 (| a | | b |)2 | a |2 | b |2 2ab  2 2 | a | | b | 2 | a || b |ab | a || b || a || b | cos a,b  | a || b |cos a,b 1a ,b共线且方向相反. (3)a + b与a b共线(a + b)(a b) 0 b a a b 0 a b = 0 a,b共线. 2.设a,b,c为非零向量, 判断下列等式是否成立: 2 2 2 (1)(ab)c a(bc);(2)(ab) = a b ;(3)a(b c) (a b)c. 解(1)不成立.例如:(ii ) j j i (ij) 0. (2)不成立例如. : (ij)2 = 0 i2 j2 1. (3)成立.a(b c)和(a b)c都是a,b,c的有向体积,且定向相同. 2 2 3.设a,b为非零向量,且7a 5b与a 3b正交,与a 4b与7a 2b正交,求a b . 解(7a 5b)(a 3b) 0,(a 4b)(7a 2b) 0.  2 2 7a 15b 16ab 0 (1)   2 2 7a + 8b 30ab 0 (2)  (1) 15 (2) 8 161(a2 b2 ) 0,a2 b2 0. 4.利用向量运算, 证明下列几何命题: 射影定理考虑直角三角形. ABC , 其中A为 2 2 2 直角, AD是斜边上的高,则AD BDCD , AB BDBC , AC CDCB .       证AB AD DB , AC AD DC ,       2       0 ABAC (AD DB )(AD DC ) AD ADDC DBAD DBDC 2   2       AD DBDC , AD DBDC BDDC BD DC (BD, DC同向). 2 2 2 2 AB AD BD BD