北京大学《高等数学》附件5.3.pdf

医学部学生会整理 第三章总练习题 1.为什么用Newton-Leibniz公式于下列积分会得到不正确结果? 1 1 1 1 d   d     1 (1) ex dx. ex  ex [1,1]无界,从而不可积. 1 dx   dx    x2       2 d tan x (2)0 2 tan2 x dx.u tan x在(0, 2)的一些点不可导. 2.证明奇连续函数的原函数为偶函数,而偶连续函数的原函数之一为奇函数. 证设奇连续函数f 的原函数为F , 现在证明F 是偶函数.     F (x ) f (x ).(F (x ) F (x )) F (x ) F (x ) f (x ) f (x ) 0, F (x ) F (x ) C ,C F (0) F (0) 0.F (x ) F (x ) 0. 设偶连续函数f 的原函数为F , 现在证明F 是奇函数.     F (x ) f (x ).(F (x ) F (x )) F (x ) F (x ) f (x )  f (x ) 0, F (x ) F (x ) C .设F (0) 0, 则C F (0) F (0) 0.F (x) F (x) 0. sin x , x 0, b  3.f (x )f (x )  求定积分 f (x )dx ? 其中a 0,b 0. 3 a x , x 0,  b 0 b 0 b 3 解 f (x )dx f (x )dx  f (x )dx x dx  sinxdx a a 0 a 0 a 4 4 x b a cos x |0 1 cosb. 4 4 0 d 1 4.求微商dx 0 sin(x t )dx. d 1 d x 1 解 dx 0 sin(x t )dx dx x sin(u)du sin(x 1) sin(x). 1 5.试证明lim 0 f (x ht )dx f (x ),其中f (x )是实轴上的连续函数. h0  1 x h u 证lim x f (x ht )du 0 f (t )dt  f (x ). h0 h