实变函数积分理论部分复习题附答案版.doc

2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设是上的一列非负可测函数，则是上的Lebesgue可积函数。（×） 2、设是上的一列非负可测函数，则是上的Lebesgue可测函数。（√） 3、设是上的一列非负可测函数，则。 （×） 4、设是上的一列非负可测函数，则存在的一个子列，使得，。 （×，比如为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。） 5、设是上的一列非负可测函数，则存在的一个子列，使得，。 （×，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。） 6、设是上的一列非负可测函数，则。 （√） 7、设是上的一列非负可测函数，则。 （×） 8、设是上的黎曼可积函数，则必为上的可测函数。 （√，Lebesgue积分与正常黎曼积分的关系） 9、设是的上黎曼反常积分存在，则必为上的可测函数。 （√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数，在上黎曼可积，从而是上的可测函数，进而是上的可测函数） 10、设是上的一列单调递增非负可测函数，表示在上的下方图形，，则单调递增，且 ，。 （√，用集合关系的定义，单调递增可测集列的极限性可以证明。） 二、叙述题（请完整地叙述以下定理或命题） （自己在书上找答案，务必要跟书上一模一样） 1、单调收敛定理（即Levi定理） 2、Fatou引理（法都引理） 3、非负可测函数的Fubini定理和Lebesgue可积函数的Fubini定理 4、Lebesgue控制收敛定理（两个） 5、Lebesgue基本定理（即非负可测函数项级数的逐项积分定理） 6、积分的绝对连续性 三、计算题（请完整写出计算过程和结果） 1、设为中的零测集， ，求 。 解：由题设，于，而在上连续， 于是由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 。 2、设为中有理数全体， ，求。 解：因为为可数集，所以，从而，于，而在上非负连续，且， 所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 。 3、设为上的Cantor三分集， ，求。 解：因为，所以，于，而在上非负连续，且 ， 所以由积分的惟一性和L积分与R积分的关系得 。 4、计算。 解： 令，易见在非负可测，且单调上升，故由单调收敛定理 。 5、积分计算 （1）设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下： 求 。 （2）设为全体有理数所成的集合，在上函数定义如下： 求 。 解：（1）记，令，则故从而几乎处处于。显然，是上的连续函数，从而在上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，在上Lebesgue 可积且 由于几乎处处于，故由积分的基本性质 （2）解：因从而几乎处处于。显然，是上的连续函数，从而在上有界且Riemann可积，故由Riemann积分与Lebesgue积分的关系定理，在上Lebesgue 可积且 由于几乎处处于，故由积分的基本性质 三、证明题（请完整地写出以下命题的证明） 1、用Fubini定理证明：若为上的非负可测函数，则 。 证明：记， 令， 由题设易知也是上的非负可测函数，于是，由非负可测函数的Fubini定理 。 2、设是中的可测集，若（1），其中为可测集，； （2），都是上的可测函数，且 于； （3）存在上的Lebesgue可积函数，使得， 。 证明：在上也Lebesgue可积，且 。 证明：记，由题设知 于（事实上，存在，当时，总有，从而，于是。） 又 ，在上Lebesgue可积 所以 由Lebesgue控制收敛定理，并注意到可得 。 3、设是Lebesgue可测集，，都是上的Lebesgue可积函数，若 ，且， 证明：（1）在上非负可测； （2）用Fatou引理证明：。 证明：（1）由可测函数的运算性质得 是上可测函数， 又 ，从而， 所以 在上非负可测。 （2）由题设，再由Fatou引理得 ， 即， 从而 故 。 4、设是定义在上的实值函数，满足，在上黎曼可积（即存在），若在上的广义黎曼积分绝对收敛（即绝对收敛），证明：在上Lebesgue可积，且 。。 证明：由题设知是上的可测函数，从而是上的可测函数，于是，由非负可测函数L积分的完全可加性以及L积分与黎曼正常积分的关系，并注意到可得 （注：以上证明也可利用Levi定理得到） 又在上的广义黎曼积分绝对收敛，即 从而，即在上Lebesgue可积。 由于且单调递增，记，易知 且，于是，由L—控制收敛定理得在上Lebesgue可积，且 。 5、设（）都是上的Lebesgue可积函数，且 ， 证明：（1）于；（2）于。 证明：（1）记，对任意，由 得，即于。 （2）因为在上连