2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义:专题二 遇到角平分线怎么作辅助线.docx
专题二遇到角平分线怎么作辅助线
2.1已知角平分线求距离
知识储备
角平分线的定义、性质及判定
(1)定义:在角的内部从顶点出发,把角分成相等的两部分的射线.
如图,当∠1=∠2(2∠1=∠BAC或2∠2=∠BAC)时,AD为∠BAC的平分线.反之,若AD为∠BAC的平分线,则∠1=∠2,2∠1=∠BAC,2∠2=∠BAC.
(2)性质:角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.
注意:上述性质要想成立,必须同时满足两点:①点在角平分线上,②到角的两边的距离(即到角的两边的垂线段的长).
(3)判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
基本图形
已知条件
角的平分线及平分线上的一点
辅助线作法
过角平分线上的点作角的两边(或一边)的垂线段,如图,作DE⊥AB,DF⊥BC
可用结论
DE=DF或直角三角形的性质
方法归纳
当题干中出现角的平分线时,可以直接运用定义说明两个角相等,也可以利用角平分线的性质,作角的两边(或一边)的垂线段,引入全等三角形或直角三角形,为进一步证明打下基础
例题详析
例:如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,交AB于点D,E为AC上一点,且DE=CE.
(1)求证:DE∥BC;
(2)若∠A=90°,S△BCD=26,BC=13,求AD的长.
思|维|路|径
【解析】(1)∵CD平分∠ACB,∴∠ECD=∠BCD.
∵DE=CE,∴∠ECD=∠EDC,
∴∠BCD=∠CDE,∴DE∥BC.
(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F.
∵∠A=90°,CD平分∠ACB,DF⊥BC,∴AD=FD.
∴
跟踪训练
对|点|巩|固
1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=3.
(1)求D到直线AB的距离;
(2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积.
2.如图,BD和CD分别平分.△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于点F,连接AD.
(1)求证:∠BDC=
(2)若AB=AC,请判断△ABD的形状,并证明你的结论.
中|考|实|战
3.如图,在△ABC中,∠∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC,,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为()
A.2+2B.2+
4.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF=.
2.2已知角平分线构造全等
知识储备
1.角的轴对称性
(1)角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.
(2)轴对称图形的特征:对称轴两边的部分沿对称轴折叠后能完全重合,即对应的角相等,对应的线段相等.
2.已知角平分线构造全等
超级模型
基本图形
已知条件
AD是∠BAC的平分线,点F在AC上
AD是∠BAC的平分线,F在AC上,DC⊥AC,且BD=DF
辅助线作法
在AB上截取AE=AF
过D作DE⊥AB于点E
可用结论
△ADF≌△ADE
Rt△FCD≌Rt△BED
理论依据
因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠BAD=∠CAD.
又因为AE=AF,AD=AD,
所以△ADF≌△ADE
因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
所以DE=DC,∠DEB=∠DCF=90°.
又BD=DF,所以Rt△FCD≌Rt△BED
方法归纳
第二种作法里,已知条件中可以是一组等边,也可以是一组等角,选择相应的判定定理即可证出三角形全等
例题详析
例:如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,点F在AC上,∠B=∠DFC.求证:BD=DF.
【解析】如图,过D作DE⊥AB于点E.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴DC=DE.
在△DCF和△DEB中,∠DFC=∠B,
∴△DCF≌△DEB(AAS),∴BD=DF.
跟踪训练
对|点|巩|固
1.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,若点P在射线OM上移动,点C,点D分别在OA,OB上,且∠CPD=90°,问PC与PD相等吗?试说明理由.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,求证:FE=FD.
3.如图,已知△ABC中,