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2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义:专题二 遇到角平分线怎么作辅助线.docx

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专题二遇到角平分线怎么作辅助线

2.1已知角平分线求距离

知识储备

角平分线的定义、性质及判定

(1)定义:在角的内部从顶点出发,把角分成相等的两部分的射线.

如图,当∠1=∠2(2∠1=∠BAC或2∠2=∠BAC)时,AD为∠BAC的平分线.反之,若AD为∠BAC的平分线,则∠1=∠2,2∠1=∠BAC,2∠2=∠BAC.

(2)性质:角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.

注意:上述性质要想成立,必须同时满足两点:①点在角平分线上,②到角的两边的距离(即到角的两边的垂线段的长).

(3)判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

基本图形

已知条件

角的平分线及平分线上的一点

辅助线作法

过角平分线上的点作角的两边(或一边)的垂线段,如图,作DE⊥AB,DF⊥BC

可用结论

DE=DF或直角三角形的性质

方法归纳

当题干中出现角的平分线时,可以直接运用定义说明两个角相等,也可以利用角平分线的性质,作角的两边(或一边)的垂线段,引入全等三角形或直角三角形,为进一步证明打下基础

例题详析

例:如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,交AB于点D,E为AC上一点,且DE=CE.

(1)求证:DE∥BC;

(2)若∠A=90°,S△BCD=26,BC=13,求AD的长.

思|维|路|径

【解析】(1)∵CD平分∠ACB,∴∠ECD=∠BCD.

∵DE=CE,∴∠ECD=∠EDC,

∴∠BCD=∠CDE,∴DE∥BC.

(2)如图,过点D作DF⊥BC于点F.

∵∠A=90°,CD平分∠ACB,DF⊥BC,∴AD=FD.

跟踪训练

对|点|巩|固

1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=3.

(1)求D到直线AB的距离;

(2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积.

2.如图,BD和CD分别平分.△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于点F,连接AD.

(1)求证:∠BDC=

(2)若AB=AC,请判断△ABD的形状,并证明你的结论.

中|考|实|战

3.如图,在△ABC中,∠∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC,,交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,则BC的长为()

A.2+2B.2+

4.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF=.

2.2已知角平分线构造全等

知识储备

1.角的轴对称性

(1)角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴.

(2)轴对称图形的特征:对称轴两边的部分沿对称轴折叠后能完全重合,即对应的角相等,对应的线段相等.

2.已知角平分线构造全等

超级模型

基本图形

已知条件

AD是∠BAC的平分线,点F在AC上

AD是∠BAC的平分线,F在AC上,DC⊥AC,且BD=DF

辅助线作法

在AB上截取AE=AF

过D作DE⊥AB于点E

可用结论

△ADF≌△ADE

Rt△FCD≌Rt△BED

理论依据

因为AD是∠BAC的平分线,

所以∠BAD=∠CAD.

又因为AE=AF,AD=AD,

所以△ADF≌△ADE

因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,

所以DE=DC,∠DEB=∠DCF=90°.

又BD=DF,所以Rt△FCD≌Rt△BED

方法归纳

第二种作法里,已知条件中可以是一组等边,也可以是一组等角,选择相应的判定定理即可证出三角形全等

例题详析

例:如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,点F在AC上,∠B=∠DFC.求证:BD=DF.

【解析】如图,过D作DE⊥AB于点E.

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴DC=DE.

在△DCF和△DEB中,∠DFC=∠B,

∴△DCF≌△DEB(AAS),∴BD=DF.

跟踪训练

对|点|巩|固

1.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,若点P在射线OM上移动,点C,点D分别在OA,OB上,且∠CPD=90°,问PC与PD相等吗?试说明理由.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,求证:FE=FD.

3.如图,已知△ABC中,

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