2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义：专题九 遇到相似怎么作辅助线.docx

专题九遇到相似怎么作辅助线

9.1作平行线构造A,8字型

知识储备

1.相似三角形

(1)性质：相似三角形的对应边成比例，对应角相等.

(2)判定：两角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；直角三角形中的一条直角边和斜边分别对应成比例，两三角形相似.

2.平行线与相似的关系

(1)平行线分线段成比例定理：一组平行线在两条直线上所截得的线段对应成比例.

(2)平行与相似：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.

A,8型

倒A,倒8型

基本图形

辅助线作法

过三角形一边上的点或一边延长线上的点作某一边的平行线

过三角形一边上的点或一边延长线上的点作相等的角或成比例的线段

可用结论

△ABC∽△ADE

△ABC∽△AED

理论依据

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似

两角分别对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

方法归纳

作平行线应注意以下两点：①一般把已知或求证中线段的端点作为平行线上一点；②作平行线时尽量使用较多已知线段

例题详析

例:如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,AE:AD=1:4,BE的延长线交AC于F,求AF:CF的值.

思|维|路|径

【解析】如图,作DH∥BF交AC于点H.

∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.

又DH∥BF,∴FH=HC.

∵AE:AD=1:4,∴AE:ED=1:3.

∵DHBF,∴AEFOADH,∴AF

∴AF:FC=1:6.

跟踪训练

对|点|巩|固

1.如图，在锐角三角形ABC中，D为BC边的中点，F为射线AB上的一点，连接CF交射线AD于E,已知EC=

(1)求F点此时的位置;

(2)求AFAB的值.

2.已知△ABC,延长BC到点D,使(CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.

(1)求AEAC的值；

(2)若AB=a,FB=EC,求AC的长.

3.已知直线MN与线段AB相交于点O,∠1=∠2=45°.

(1)如图1,若AO=OB,请写出AO与BD的数量关系和位置关系；

(2)将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中.AO=OB,求证：AC=BD,AC⊥BD;

(3)将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求BDAC的值

中|考|实|战

4.如图,在△ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是.

5.(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=33,BO:CO=1:3,求AB

经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).

请回答：∠ADB

(2)请参考以上解题思路，解决问题：

如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=33,∠ABC=∠ACB=75°,BO:OD=1:3,求DC的长.

9.2共角共边

知识储备

1.比例的性质

(1)比例的基本性质：a

简记：外项之积=内项之积.

特别地，a

(2)合比性质:a

(3)等比性质：若ab=c

2.“共角共边”型的应用过程

基本图形

已知条件

△ABC和△ACD中有相同的边AC,相同的角∠A,且AC2=AD·AB

△ABC为直角三角形，CD为斜边的高

可用结论

△ABC∽△ACD

△ABC∽△ACD∽△CBD

理论依据

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

两角相等的两个三角形相似

方法归纳

当已知中含有ab=cd这类线段积相等的条件时，经常转化成比的形式，同时使比的前项和后项中的两条线段分别在同一个三角形中，再确定这两个三角形是否相似

例题详析

例:如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,点C在⊙O上,且PC2=PB?PA.

(1)求证:PC是⊙O的切线.

(2)已知PC=20,PB=10,点D是AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,DE交AB于点F,求EF的长.

思|维|路|径

【解析】(1)证明:连接OC,如图1所示.

∵PC

又∵∠P=∠P,∴△PBC∽△PCA,∴∠PCB=∠PAC.