2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义:专题十一 遇到圆怎么作辅助线.docx
专题十一遇到圆怎么作辅助线
11.1垂径定理
知识储备
1.垂径定理的相关知识
(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.数学语言表述如下:
①CD是直径,②CD⊥AB③AM=BM,④
(2)垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.数学语言表述如下:
(3)垂径定理及相关命题如下表所示:
条件
结论
命题
①②
③④⑤
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
①③
②④⑤
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
①④
②③⑤
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
①⑤
②③④
②③
①④⑤
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧
②④
①③⑤
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和它所对的另一条弧
②⑤
①③④
③④
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧
③⑤
①②④
④⑤
①②③
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦
2.垂径定理的应用思路
超级模型
基本图形
说明
类型一
已知AB是圆O的直径,CD为弦,AB⊥CD于点E,常用辅助线为连接半径OC,则△OEC为直角三角形,利用勾股定理求解边长
类型二
如图,点B为弧AC的中点,常用辅助线为连接AC,OB,可得OB垂直平分AC
类型三
如图,点B为AC的中点,常用辅助线为连接OB,可得OB垂直平分AC
例题详析
例:点P是圆外一点,点M,N分别是弧AB,CD的中点,求证:△PEF
【解析】连接OM,ON,分别交AB,CD于点G,H.
∵M,N分别为弧AB,
∴OM⊥AB,ON⊥CD,即∠MGE=∠NHF=90°.
又∵OM=ON,∴∠M=∠N,∴∠MEG=∠NFH.
∵∠MEG=∠PEF,∠NFH=∠PFE,
∴∠PEF=∠PFE,∴PE=PF,
∴△PEF为等腰三角形.
跟踪训练
对|点|巩|固
1.半圆形纸片的半径为1cm,用如图所示的方法将纸片对折,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则折痕CD的长为cm.
2.如图所示,已知AB是⊙O的弦,C是AB的中点,AB=8,AC=25,求⊙O
3.如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在这个三角形的高AD上,AB=10,BC=12,求⊙O的半径.
中|考|实|战
4.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,,则点P的坐标为
5.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,,以点C为圆心,CB长为半径的圆交AB于点D,则BD的长为.
6.如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作(CD⊥AB于点D,CD交AE于点F,过点C作CG‖AE,,交BA的延长线于点G.
(1)求证:CG是⊙O的切线.
(2)求证:AF=CF.
(3)若∠EAB=30°,CF=2,求GA的长.
11.2无切点,证切线
知识储备
1.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系来判别.
2.切线的判定
(1)定义:直线和圆只有一个公共点,这时说这条直线和圆相切.
(2)当圆心到直线的距离等于圆的半径时,直线和圆相切.
基本图形
已知条件
已知直线AB和圆O
辅助线作法
过点O作OC垂直AB,交AB于点C
可用结论
当OC的长等于圆O的半径时,AB是圆O的切线
理论依据
当圆心到直线的距离等于圆的半径时,直线和圆相切
例题详析
例:如图,在△ABC中,∠C=90°,点O,D分别为AB,BC的中点,作⊙O与AC相切于点E,在AC边上取一点F,使DF=DO.
(1)求证:DF是⊙O的切线.
(2)若sinB=32,CF=2,求
思|维|路|径
【解析】(1)作OG⊥DF于点G,连接OE.
∵点O,D分别为AB,BC的中点,
∴BD=DC,BO=OA,OD∥AC,∴∠ODG=∠DFC.
∵∠OGD=∠DCF=90°,OD=DF,
∴△OGD≌△DCF(AAS),∴OG=CD.
∵AC是⊙O的切线,∴OE⊥AC,∴∠AEO=∠C=90°,∴OE∥BC.
又∵OD∥CE,∴四边形CDOE是矩形,
∴CD=OE,∴OG=OE,∴DF是⊙O的切线.
(2)设OE=x,则BD=DC=OE=x.