2024年中考数学几何辅助线专题复习讲义：专题六 遇到垂直 (直角)怎么作辅助线.docx
专题六遇到垂直(直角)怎么作辅助线
6.1面积法求长度
知识储备
面积法
(1)直角三角形的面积：两直角边的乘积除以2，或斜边乘斜边上的高除以2.
(2)平行四边形的面积：底边与高的乘积.而平行四边形的两组对边的边长不同，所以有两种计算面积的方法.
如图1,S平行四边形ABCD=BC·AE=CD·AF.
(3)菱形的面积：底边与高的乘积，或菱形对角线乘积的一半.
如图2,S菱形
(4)矩形的面积：长乘宽，即矩形任意两邻边的乘积.
(5)正方形的面积：正方形是特殊的矩形、菱形，故可用求矩形或菱形的面积的方法求正方形的面积，故正方形的面积等于边长的平方或对角线平方的一半.
基本图形
已知条件
在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB,垂足为E,D为BC上任意一点
辅助线作法
过D作DF⊥AB于F,DG⊥AC于G
可用结论
DF+DG=CE
理论依据
S△ABC=AB·CE=AB·DF+AC·DG=AB·(DF+DG)
方法归纳
利用面积法可得等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高
例题详析
例：如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC,P为CE上任意一点,PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值是()
A.32
C.22
思|维|路|径
【解析】连接BP,过C作CM⊥BD于点M,如图所示.
∵BC=BE,
∴S
PQ+PR
∴PQ+PR=CM.
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴∠BCD=90°,CD=BC=1,∠CBD=∠CDB=45°,
∴BD=
∵BC=CD,CM⊥BD,
∴M为BD的中点,
∴CM=
∴PQ+PR的值是22.
跟踪训练
对|点|巩|固
1.如图,在矩形ABCD中,P是CD边上一点,PE⊥BD,垂足为E,PF⊥AC,垂足为F.如果AB=4,AD=3,那么PE+PF等于()
A.3B.4C.52
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F.若DE=3cm,则BF=cm.
3.如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AC上的一点,BD=DC,P是BC上的任意一点(不与B,C重合),过P作PE⊥BD,PF⊥AC,E,F为垂足.求证:PE+PF=AB.
C
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=m,BC=n,mn,点P是边AB上一点,连接CP,将△ACP沿CP翻折得到△QCP.
(1)若m=4,n=3,且PQ⊥AB,求BP的长;
(2)连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，求m与n之间的关系式.
5.如图1,已知△ABC中,AB=AC,点P是BC上的一点,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,CG⊥AB于点G.
(1)线段CG,PM,PN三者之间的数量关系是.
(2)如图2，若点P在BC的延长线上，则线段CG，PM，PN三者是否还有上述关系?若有，请说明理由；若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想.
(3)如图3,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且.AE=AD,,点P是BE上任一点,PN⊥AB于点N,PM⊥AC于点M.若正方形ABCD的面积是12,请直接写出PM+PN的值.
中|考|实|战
6.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6,过点A作AE⊥BC,,垂足为E,则AE的长为()
A.4B.125
6.2垂直平分线的应用
知识储备
线段的垂直平分线
(1)线段垂直平分线的定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”.
如图,N是AB的中点,过N点作MN⊥AB,则MN为AB的垂直平分线.
(2)线段垂直平分线的性质：
①线段的垂直平分线垂直且平分这条线段；
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等.
(3)线段垂直平分线的判定：
①经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合).
基本图形
已知条件
MN与AB相交于点O,MN⊥AB,且O